Para modelar el número de bacterias restantes en un plato de Petri después de introducir un medicamento que hace que la población decrezca rápidamente, vamos a usar una función que representa la descomposición exponencial.
### Supuestos y Observaciones:
1. Al inicio, había 11,880 bacterias en el plato de Petri. Esto es nuestro valor inicial, [tex]\( N_0 = 11880 \)[/tex].
2. La población de bacterias pierde [tex]\( \frac{1}{4} \)[/tex] de su tamaño cada 44 segundos. Esto implica que cada 44 segundos, solo queda [tex]\( \frac{3}{4} \)[/tex] de la población.
### Paso 1: Comprender la Decaída Exponencial
La decaída exponencial se puede modelar mediante una función de la siguiente forma:
[tex]\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \][/tex]
Donde [tex]\( N(t) \)[/tex] es el número de bacterias en el tiempo [tex]\( t \)[/tex], [tex]\( N_0 \)[/tex] es el número inicial de bacterias, y [tex]\( k \)[/tex] es la constante de decaimiento.
### Paso 2: Determinar la Constante de Decaimiento
Dado que sabemos que la estructura de la función es una decaída proporcional de [tex]\( \frac{3}{4} \)[/tex] cada 44 segundos, podemos simplificar el modelo usando:
[tex]\[ N(t) = N_0 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{t}{44}} \][/tex]
### Paso 3: Escribir la Función
Unimos toda la información en una función matemática completa. La función que modela el número de bacterias restantes [tex]\( t \)[/tex] segundos después sería:
[tex]\[ N(t) = 11880 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{t}{44}} \][/tex]
### Paso 4: Explicar Claramente la Función
- 11880 representa la cantidad inicial de bacterias.
- [tex]\( \frac{3}{4} \)[/tex] es el factor de decaimiento, indicando que cada 44 segundos la población se reduce a [tex]\( \frac{3}{4} \)[/tex] de su tamaño original.
- [tex]\( t/44 \)[/tex] ajusta el tiempo [tex]\( t \)[/tex] a los intervalos de 44 segundos. Esto normaliza el tiempo en unidades de intervalos de decaimiento.
### Resultado Final
La función que define el número de bacterias restantes en el plato de Petri después de [tex]\( t \)[/tex] segundos es:
[tex]\[ N(t) = 11880 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{t}{44}} \][/tex]
Esta función modela adecuadamente la descomposición exponencial observada en el plato de Petri debido al medicamento.
