Vamos a resolver los problemas paso a paso utilizando la información dada.
Para la primera secuencia:
Tenemos:
- Primer término [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex]
- Término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo [tex]\(a_n = 26\)[/tex]
- Suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] términos [tex]\(S_n = 118.5\)[/tex]
Debemos encontrar el número de términos [tex]\(n\)[/tex] y la diferencia común [tex]\(d\)[/tex] de esta secuencia aritmética.
Primero, usamos la fórmula de la suma de una secuencia aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right) \][/tex]
Reemplazamos los valores conocidos:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} \left( 13.5 + 26 \right) \][/tex]
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} \cdot 39.5 \][/tex]
[tex]\[ 118.5 = 19.75n \][/tex]
Despejamos [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ n = \frac{118.5}{19.75} \][/tex]
[tex]\[ n = 6 \][/tex]
Ya sabemos que [tex]\(n = 6\)[/tex]. Ahora vamos a encontrar la diferencia común [tex]\(d\)[/tex].
Usamos la fórmula para el término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo de una secuencia aritmética:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \][/tex]
Reemplazamos los valores conocidos:
[tex]\[ 26 = 13.5 + (6-1) \cdot d \][/tex]
[tex]\[ 26 = 13.5 + 5d \][/tex]
Despejamos [tex]\(d\)[/tex]:
[tex]\[ 26 - 13.5 = 5d \][/tex]
[tex]\[ 12.5 = 5d \][/tex]
[tex]\[ d = \frac{12.5}{5} \][/tex]
[tex]\[ d = 2.5 \][/tex]
Para la segunda secuencia:
Tenemos:
- Número de términos [tex]\(n = 6\)[/tex]
- Diferencia común [tex]\(d = -7\)[/tex]
- Término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo [tex]\(a_n = 90\)[/tex]
Debemos encontrar el primer término [tex]\(a_1\)[/tex] y la suma de los primeros 6 términos [tex]\(S_6\)[/tex].
Usamos la fórmula para el término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \][/tex]
Reemplazamos los valores conocidos:
[tex]\[ 90 = a_1 + (6-1) \cdot (-7) \][/tex]
[tex]\[ 90 = a_1 + 5 \cdot (-7) \][/tex]
[tex]\[ 90 = a_1 - 35 \][/tex]
Despejamos [tex]\(a_1\)[/tex]:
[tex]\[ a_1 = 90 + 35 \][/tex]
[tex]\[ a_1 = 125 \][/tex]
Finalmente, encontramos la suma de los primeros 6 términos usando la fórmula de la suma para una secuencia aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1) \cdot d \right) \][/tex]
Reemplazamos los valores conocidos:
[tex]\[ S_6 = \frac{6}{2} \left( 2 \cdot 125 + (6-1) \cdot (-7) \right) \][/tex]
[tex]\[ S_6 = 3 \left( 250 + 5 \cdot (-7) \right) \][/tex]
[tex]\[ S_6 = 3 \left( 250 - 35 \right) \][/tex]
[tex]\[ S_6 = 3 \cdot 215 \][/tex]
[tex]\[ S_6 = 645 \][/tex]
En resumen:
- Para la primera secuencia, encontramos que [tex]\(n = 6\)[/tex] y [tex]\(d = 2.5\)[/tex].
- Para la segunda secuencia, encontramos que [tex]\(a_1 = 125\)[/tex] y [tex]\(S_6 = 645\)[/tex].
