EJERCICIO 3: Dados los polinomios [tex]\( f(x) \)[/tex] y [tex]\( g(x) \)[/tex], hacer la suma y comparar los grados de [tex]\( f(x) \)[/tex], [tex]\( g(x) \)[/tex] y [tex]\( f(x) + g(x) \)[/tex].

1. [tex]\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 14 \)[/tex]
2. [tex]\( g(x) = x^4 - 2x^3 - 8x^2 + 13x - 24 \)[/tex]



Answer :

¡Por supuesto! Vamos a resolver este ejercicio paso a paso.

Primero, vamos a escribir los polinomios dados:

1) [tex]\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 14 \)[/tex]
2) [tex]\( g(x) = x^4 - 2x^3 - 8x^2 + 13x - 24 \)[/tex]

### Paso 1: Sumar los polinomios

Para sumar dos polinomios, sumamos los coeficientes de los términos de igual grado.

[tex]\[ f(x) + g(x) = (x^3 - 6x^2 + 15x - 14) + (x^4 - 2x^3 - 8x^2 + 13x - 24) \][/tex]

Agrupamos los términos de igual grado:

[tex]\[ f(x) + g(x) = x^4 + x^3 - 2x^3 - 6x^2 - 8x^2 + 15x + 13x - 14 - 24 \][/tex]

Ahora sumamos los coeficientes correspondientes:

Para [tex]\(x^4\)[/tex]:
[tex]\[ 1 \cdot x^4 = x^4 \][/tex]

Para [tex]\(x^3\)[/tex]:
[tex]\[ 1 \cdot x^3 - 2 \cdot x^3 = -1 \cdot x^3 = -x^3 \][/tex]

Para [tex]\(x^2\)[/tex]:
[tex]\[ -6 \cdot x^2 - 8 \cdot x^2 = -14 \cdot x^2 \][/tex]

Para [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ 15 \cdot x + 13 \cdot x = 28 \cdot x \][/tex]

Constantes:
[tex]\[ -14 - 24 = -38 \][/tex]

Entonces, la suma de los polinomios [tex]\(f(x) + g(x)\)[/tex] es:

[tex]\[ f(x) + g(x) = x^4 - x^3 - 14x^2 + 28x - 38 \][/tex]

### Paso 2: Comparar los grados de [tex]\(f(x)\)[/tex], [tex]\(g(x)\)[/tex] y [tex]\(f(x) + g(x)\)[/tex]

Definimos el grado de un polinomio como el mayor exponente de [tex]\(x\)[/tex] con un coeficiente no nulo.

- El grado de [tex]\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 14\)[/tex] es 3, ya que el término con el mayor exponente es [tex]\(x^3\)[/tex].

- El grado de [tex]\(g(x) = x^4 - 2x^3 - 8x^2 + 13x - 24\)[/tex] es 4, ya que el término con el mayor exponente es [tex]\(x^4\)[/tex].

- El grado de [tex]\(f(x) + g(x) = x^4 - x^3 - 14x^2 + 28x - 38\)[/tex] es 4, ya que el término con el mayor exponente es [tex]\(x^4\)[/tex].

En resumen:

- Grado de [tex]\(f(x)\)[/tex] = 3
- Grado de [tex]\(g(x)\)[/tex] = 4
- Grado de [tex]\(f(x) + g(x)\)[/tex] = 4

### Conclusión

Hemos sumado los polinomios [tex]\(f(x)\)[/tex] y [tex]\(g(x)\)[/tex] y obtenido:

[tex]\[ f(x) + g(x) = x^4 - x^3 - 14x^2 + 28x - 38 \][/tex]

Comparamos los grados y encontramos que:

- El grado de [tex]\(f(x)\)[/tex] es 3.
- El grado de [tex]\(g(x)\)[/tex] es 4.
- El grado de [tex]\(f(x) + g(x)\)[/tex] es 4.

Este análisis concluye que la suma de los dos polinomios tiene el grado del polinomio de mayor grado entre los sumandos.