Vamos a resolver cada parte del problema paso a paso.
### Parte 1: Diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos
Primero, consideremos dos números consecutivos: [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( x+1 \)[/tex].
La diferencia de los cuadrados de estos números es:
[tex]\[ (x+1)^2 - x^2 = 31 \][/tex]
Desarrollamos ambos cuadrados:
[tex]\[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \][/tex]
[tex]\[ x^2 = x^2 \][/tex]
Sustituyendo en la ecuación original:
[tex]\[ x^2 + 2x + 1 - x^2 = 31 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 2x + 1 = 31 \][/tex]
Restamos 1 en ambos lados:
[tex]\[ 2x = 30 \][/tex]
Dividimos ambos lados entre 2:
[tex]\[ x = 15 \][/tex]
Por lo tanto, los dos números consecutivos son [tex]\( x = 15 \)[/tex] y [tex]\( x + 1 = 16 \)[/tex].
### Parte 2: Tres números enteros consecutivos
Denotemos los tres números enteros consecutivos como [tex]\( n, n+1, n+2 \)[/tex]. La suma que se nos pide calcular es:
[tex]\[ 2n + 3(n+1) + 4(n+2) = 740 \][/tex]
Expandimos y simplificamos esta ecuación:
[tex]\[ = 2n + 3n + 3 + 4n + 8 = 740 \][/tex]
[tex]\[ = 2n + 3n + 4n + 3 + 8 = 740 \][/tex]
[tex]\[ = 9n + 11 = 740 \][/tex]
Restamos 11 en ambos lados de la ecuación:
[tex]\[ 9n = 729 \][/tex]
Dividimos entre 9:
[tex]\[ n = 81 \][/tex]
Por lo tanto, los tres números enteros consecutivos son [tex]\( n = 81 \)[/tex], [tex]\( n+1 = 82 \)[/tex] y [tex]\( n+2 = 83 \)[/tex].
### Resumen
1. Los números consecutivos cuya diferencia de cuadrados es 31 son [tex]\( 15 \)[/tex] y [tex]\( 16 \)[/tex].
2. Los tres números consecutivos, cuyo doble del menor más el triple del mediano más el cuádruple del mayor suman 740, son [tex]\( 81 \)[/tex], [tex]\( 82 \)[/tex] y [tex]\( 83 \)[/tex].
