Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
Dado el número complejo [tex]\( z = a + bi \)[/tex], donde [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex] son números reales y [tex]\(\bar{z} = a - bi\)[/tex] es el conjugado complejo de [tex]\( z \)[/tex].
1. Trabajemos con la primera ecuación [tex]\(\bar{z} + z = 10\)[/tex]:
[tex]\[
\bar{z} + z = (a - bi) + (a + bi)
\][/tex]
[tex]\[
= a - bi + a + bi
\][/tex]
[tex]\[
= 2a
\][/tex]
Entonces, tenemos:
[tex]\[
2a = 10 \implies a = 5
\][/tex]
2. Ahora, trabajemos con la segunda ecuación [tex]\(\bar{z} - z = 4i\)[/tex]:
[tex]\[
\bar{z} - z = (a - bi) - (a + bi)
\][/tex]
[tex]\[
= a - bi - a - bi
\][/tex]
[tex]\[
= -2bi
\][/tex]
Entonces, tenemos:
[tex]\[
-2bi = 4i \implies -2b = 4 \implies b = -2
\][/tex]
De esta manera, al resolver ambas ecuaciones juntas, determinamos que:
[tex]\[ a = 5 \text{ y } b = -2 \][/tex]
Comprobemos que las condiciones iniciales se cumplen con estos valores:
Para la primera ecuación:
[tex]\[
\bar{z} + z = (5 - 2i) + (5 + 2i) = 5 + 5 = 10
\][/tex]
Para la segunda ecuación:
[tex]\[
\bar{z} - z = (5 - 2i) - (5 + 2i) = -4i
\][/tex]
Al analizar las opciones:
- La ecuación (1) nos proporcionó [tex]\(a = 5\)[/tex], pero no pudo determinar [tex]\(b\)[/tex] por sí sola.
- La ecuación (2) nos proporcionó [tex]\(b = -2\)[/tex], pero no pudo determinar [tex]\(a\)[/tex] por sí sola.
- Ambas juntas fueron necesarias para determinar ambos valores.
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
C) Ambas juntas, (1) y (2)
