Para resolver el problema y encontrar la medida del arco del sector cuyo área es [tex]\(\pi \, \text{cm}^2\)[/tex] y cuyo radio es [tex]\(3 \, \text{cm}\)[/tex], debemos seguir estos pasos:
1. Fórmula del área de un sector: La fórmula para calcular el área de un sector de un círculo es:
[tex]\[
A = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \pi r^2
\][/tex]
donde [tex]\(A\)[/tex] es el área del sector, [tex]\(\theta\)[/tex] es el ángulo central en radianes, y [tex]\(r\)[/tex] es el radio del círculo.
2. Sustitución de los valores conocidos: Sabemos que el área [tex]\(A\)[/tex] es [tex]\(\pi \, \text{cm}^2\)[/tex] y el radio [tex]\(r\)[/tex] es [tex]\(3 \, \text{cm}\)[/tex]. Sustituyendo estos valores en la fórmula tenemos:
[tex]\[
\pi = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \pi (3)^2
\][/tex]
3. Simplificación de la ecuación: Simplificamos la ecuación anterior cancelando [tex]\(\pi\)[/tex] de ambos lados de la ecuación y calculando el valor de las constantes:
[tex]\[
1 = \frac{\theta}{2\pi} \cdot 9
\][/tex]
Simplificando más:
[tex]\[
1 = \frac{9\theta}{2\pi}
\][/tex]
4. Despejar [tex]\(\theta\)[/tex]: Para encontrar [tex]\(\theta\)[/tex], aislamos esta variable:
[tex]\[
\theta = \frac{2\pi}{9}
\][/tex]
[tex]\[
\theta = \frac{2 \cdot \pi}{3^2}
\][/tex]
[tex]\(
\theta = \frac{2 \cdot \pi}{9}
\)[/tex]
5. Medida en radianes: Al sustituir el valor de [tex]\(\pi\)[/tex] tenemos:
[tex]\[
\theta \approx 0.6981 \, \text{radianes}
\][/tex]
6. Calculando la medida del arco: La longitud del arco ([tex]\(L\)[/tex]) de un sector circular se puede calcular con la fórmula:
[tex]\[
L = r \cdot \theta
\][/tex]
7. Sustitución de los valores en la fórmula de la longitud del arco: Sustituimos [tex]\(r = 3 \, \text{cm}\)[/tex] y [tex]\(\theta \approx 0.6981\)[/tex] radianes en la fórmula:
[tex]\[
L = 3 \cdot 0.6981
\][/tex]
8. Resultado: Realizando la multiplicación obtenemos:
[tex]\[
L \approx 2.0944 \, \text{cm}
\][/tex]
Por lo tanto, la medida del arco del sector es aproximadamente [tex]\(2.0944\)[/tex] cm.
