### प्रश्न 1: [tex]\(2x^3 + 12x + 6\)[/tex] को [tex]\(2x\)[/tex] से भाग दीजिए।
1. [tex]\(2x^3 + 12x + 6\)[/tex] को [tex]\(2x\)[/tex] से विभाजित करें:
- सबसे पहले, [tex]\(2x^3\)[/tex] को [tex]\(2x\)[/tex] से विभाजित करें:
[tex]\[
\frac{2x^3}{2x} = x^2
\][/tex]
- फिर, [tex]\(12x\)[/tex] को [tex]\(2x\)[/tex] से विभाजित करें:
[tex]\[
\frac{12x}{2x} = 6
\][/tex]
- अंत में, [tex]\(6\)[/tex] को [tex]\(2x\)[/tex] से विभाजित करें:
[tex]\[
\frac{6}{2x}\ \text{is the remainder}
\][/tex]
- इस प्रकार, [tex]\(2x^3 + 12x + 6\)[/tex] को [tex]\(2x\)[/tex] से विभाजित करने पर भागफल [tex]\(x^2 + 6\)[/tex] प्राप्त होता है और शेषफल 6 होता है।
अतः, भागफल [tex]\(x^2 + 6\)[/tex] और शेषफल 6 है।
[tex]\[
\left(\frac{2x^3 + 12x + 6}{2x}\right) = x^2 + 6\ \text{with a remainder}\ 6
\][/tex]
### प्रश्न 2: एक बस 5 घंटे में [tex]\(y\)[/tex] किमी. दूरी तय करती है। बस की चाल ज्ञात कीजिए।
- गति को दूरी से समय के माध्यान से निकाला जा सकता है:
[tex]\[
\text{गति}\ = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}
\][/tex]
- दूरी [tex]\(y\)[/tex] किमी और समय 5 घंटे दिए गए हैं, तो
[tex]\[
\text{गति}\ = \frac{y}{5}\ \text{किमी/घंटा}
\][/tex]
अतः, बस की चाल [tex]\( \frac{y}{5} \)[/tex] किमी/घंटा है।
### प्रश्न 3: एक आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल [tex]\(65x^2\)[/tex] वर्गमीटर है तथा उस बगीचे की चौड़ाई [tex]\(5x\)[/tex] मीटर है। तब बगीचे की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- आयत का क्षेत्रफल, लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल होता है:
[tex]\[
\text{क्षेत्रफल} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}
\][/tex]
- हमें क्षेत्रफल [tex]\(65x^2\)[/tex] और चौड़ाई [tex]\(5x\)[/tex] दी गई है, तो लंबाई होगी:
[tex]\[
\text{लंबाई} = \frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{चौड़ाई}} = \frac{65x^2}{5x} = \frac{65x^2}{5x} = 13x
\][/tex]
अतः, बगीचे की लंबाई [tex]\( 13x \)[/tex] मीटर है।
### प्रश्न 4: [tex]\(4x^2 + 4\)[/tex] वर्ग इकाई क्षेत्रफल वाले समकोण त्रिभुज की आधार भुजा की लंबाई [tex]\(2x\)[/tex] इकाई है। तब त्रिभुज के शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के बराबर होता है:
[tex]\[
\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}
\][/tex]
- हमें क्षेत्रफल [tex]\(4x^2 + 4\)[/tex] और आधार [tex]\(2x\)[/tex] दी गई है, तो ऊँचाई होगी:
[tex]\[
4x^2 + 4 = \frac{1}{2} \times 2x \times \text{ऊँचाई}
\][/tex]
[tex]\[
4x^2 + 4 = x \times \text{ऊँचाई}
\][/tex]
[tex]\[
\text{ऊँचाई} = \frac{4x^2 + 4}{x} = \frac{4x^2}{x} + \frac{4}{x} = 4x + \frac{4}{x}
\][/tex]
[tex]\[
\text{ऊँचाई} = (8x^2 + 8) \div (2x) = \frac{8x^2 + 8}{2x}
\][/tex]
अतः, त्रिभुज की ऊँचाई [tex]\( \frac{(8x^2 + 8)}{2x} \)[/tex] है।
