Vamos resolver o problema passo a passo, considerando as informações fornecidas:
1. Temos que [tex]\(\log_a b = -2\)[/tex] e [tex]\(a \cdot b = 3\)[/tex].
2. A equação [tex]\(\log_a b = -2\)[/tex] pode ser reescrita na forma exponencial:
[tex]\[
b = a^{-2}
\][/tex]
Isso nos diz que [tex]\(b\)[/tex] é igual ao inverso do quadrado de [tex]\(a\)[/tex].
3. Substituímos [tex]\(b = a^{-2}\)[/tex] na equação [tex]\(a \cdot b = 3\)[/tex]:
[tex]\[
a \cdot a^{-2} = 3
\][/tex]
4. Simplificando a equação:
[tex]\[
a^{-1} = 3
\][/tex]
Isso implica que:
[tex]\[
a = \frac{1}{3}
\][/tex]
5. Agora, substituímos [tex]\(a = \frac{1}{3}\)[/tex] na forma exponencial para encontrar [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[
b = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}
\][/tex]
Lembrando que [tex]\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = 9\)[/tex], temos:
[tex]\[
b = 9
\][/tex]
6. Agora temos [tex]\(a = \frac{1}{3}\)[/tex] e [tex]\(b = 9\)[/tex].
7. Finalmente, calculamos [tex]\(b - a\)[/tex]:
[tex]\[
b - a = 9 - \frac{1}{3}
\][/tex]
Para subtrair frações, encontramos um denominador comum:
[tex]\[
9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{27 - 1}{3} = \frac{26}{3}
\][/tex]
Portanto, o valor de [tex]\(b - a\)[/tex] é [tex]\(\frac{26}{3}\)[/tex].
A resposta correta é:
d) [tex]\(\frac{26}{3}\)[/tex]
