2. O conjunto solução da condição [tex]\(\log _2\left(x^2-3 x+2\right)\ \textless \ 1\)[/tex] é igual a:

A) [tex]\((- \infty, 1) \cup (2, + \infty)\)[/tex]

B) [tex]\((0, 3)\)[/tex]

C) [tex]\((10, 1) \cup (2, 3)\)[/tex]

D) [tex]\((1, 2)\)[/tex]

---

1. Calcule [tex]\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{e^x-e^{2 x}}\)[/tex]



Answer :

Vamos resolver os dois problemas apresentados.

### Problema 1: Conjunto solução da condição [tex]$\log_2(x^2 - 3x + 2) < 1$[/tex]

Para resolver a inequação [tex]$\log_2(x^2 - 3x + 2) < 1$[/tex], começamos isolando a expressão.

1. Transformando a inequação:

A inequação original é dada por:
[tex]\[ \log_2(x^2 - 3x + 2) < 1 \][/tex]

2. Mudando a base logarítmica:

Podemos reescrever a inequação na forma exponencial:
[tex]\[ x^2 - 3x + 2 < 2^1 \][/tex]
Sabemos que [tex]\(2^1 = 2\)[/tex]. Isso nos dá:
[tex]\[ x^2 - 3x + 2 < 2 \][/tex]

3. Resolvendo a inequação quadrática:

Subtraímos 2 de ambos os lados da inequação:
[tex]\[ x^2 - 3x + 2 - 2 < 0 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ x^2 - 3x < 0 \][/tex]

4. Fatorando a expressão:

Fatorando, temos:
[tex]\[ x(x - 3) < 0 \][/tex]

Para encontrar onde a expressão [tex]\(x(x - 3) < 0\)[/tex] é negativa, precisamos analisar os pontos críticos [tex]\(x = 0\)[/tex] e [tex]\(x = 3\)[/tex].

5. Analisando os intervalos críticos:

São considerados os sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos [tex]\(x = 0\)[/tex] e [tex]\(x = 3\)[/tex]:

- Para [tex]\(x < 0\)[/tex]:
[tex]\( (x)(x - 3) \quad - \infectious)* (x - 3) \)[/tex];


- Para [tex]\(0 < x < 3\)[/tex]: A expressão [tex]\(x(x - 3)\)[/tex] é negativa (positivo multiplicado por um negativo).


- Para [tex]\(x > 3\)[/tex]: A expressão [tex]\(x(x - 3)\)[/tex] é positiva (positivo multiplicado positivo).

6. Conclusão:

Portanto, a solução da inequação é o intervalo em que o produto é negativo:
[tex]\[ 0 < x < 3 \][/tex]
Assim, o conjunto solução é [tex]\( (0, 3) \)[/tex], ou na notação correta:


#### ; Husting on alternativa correta é: B\) [tex]\(]0,3[\)[/tex]


### Problema 2: Calcular [tex]\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{e^x-e^{2 x}}\)[/tex]

O objetivo aqui é calcular o limite:
[tex]\[ \lim_{x \to 0} \frac{3x}{e^x - e^{2x}} \][/tex]

O valor deste limite é:
[tex]\[ \lim_{x \to 0} \frac{3x}{e^x - e^{2x}} = -3 \][/tex]

## Resumo

- Problema 1: O conjunto solução é a alternativa [tex]\(B\)[/tex] [tex]\(]0,3[\)[/tex].
- Problema 2: O limite [tex]\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x}{e^x - e^{2x}}\)[/tex] é igual a [tex]\(-3\)[/tex].

Estas são as soluções detalhadas para os dois problemas apresentados.