Para analisar a continuidade e a derivabilidade da função [tex]\( f \)[/tex] no ponto [tex]\( x=0 \)[/tex], vamos seguir os passos abaixo:
### Parte (a): Verificar se [tex]\( f \)[/tex] é contínua no ponto [tex]\( x=0 \)[/tex]
Primeiramente, a função [tex]\( f \)[/tex] é dada por:
[tex]\[
f(x)=\begin{cases}
1 + x \exp(x+1), & \text{se } x \leq 0 \\
1 - x - \ln(x+1), & \text{se } x > 0
\end{cases}
\][/tex]
Para que [tex]\( f \)[/tex] seja contínua em [tex]\( x=0 \)[/tex], a função deve satisfazer as seguintes condições:
1. O limite da função quando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima de 0 pela esquerda deve existir e ser igual ao valor da função em [tex]\( x=0 \)[/tex].
2. O limite da função quando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima de 0 pela direita deve existir e ser igual ao valor da função em [tex]\( x=0 \)[/tex].
3. Os limites laterais devem ser iguais.
Passo 1. Limite quando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima de 0 pela esquerda ([tex]\( x \leq 0 \)[/tex]):
[tex]\[ \lim_{{x \to 0^-}} f(x) = \lim_{{x \to 0^-}} (1 + x \exp(x+1)) \][/tex]
Substituindo [tex]\( x=0 \)[/tex]:
[tex]\[ \lim_{{x \to 0^-}} f(x) = 1 + 0 \cdot \exp(0+1) = 1 \][/tex]
Passo 2. Limite quando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima de 0 pela direita ([tex]\( x > 0 \)[/tex]):
[tex]\[ \lim_{{x \to 0^+}} f(x) = \lim_{{x \to 0^+}} (1 - x - \ln(x+1)) \][/tex]
Substituindo [tex]\( x=0 \)[/tex]:
[tex]\[ \lim_{{x \to 0^+}} f(x) = 1 - 0 - \ln(1) = 1 \][/tex]
Passo 3. Valor da função em [tex]\( x=0 \)[/tex]:
Como [tex]\( x \leq 0 \)[/tex], usamos a primeira parte da função:
[tex]\[ f(0) = 1 + 0 \cdot \exp(0 + 1) = 1 \][/tex]
Já que:
[tex]\[ \lim_{{x \to 0^-}} f(x) = 1 \][/tex]
[tex]\[ \lim_{{x \to 0^+}} f(x) = 1 \][/tex]
[tex]\[ f(0) = 1 \][/tex]
Podemos concluir que:
[tex]\[ \lim_{{x \to 0}} f(x) = f(0) = 1 \][/tex]
Portanto, [tex]\( f \)[/tex] é contínua no ponto [tex]\( x=0 \)[/tex].
### Parte (b): Verificar se [tex]\( f \)[/tex] é derivável no ponto [tex]\( x=0 \)[/tex]
Para que [tex]\( f \)[/tex] seja derivável em [tex]\( x=0 \)[/tex], os limites laterais das derivadas à esquerda e à direita em [tex]\( x=0 \)[/tex] devem existir e ser iguais.
Derivada quando [tex]\( x \leq 0 \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 1 + x \exp(x+1) \][/tex]
Utilizamos a regra do produto para derivar:
[tex]\[ f'(x) = \exp(x+1) + x \exp(x+1) \][/tex]
Substituindo [tex]\( x=0 \)[/tex]:
[tex]\[ f'(0) = \exp(0+1) + 0 \cdot \exp(0+1) = e \approx 2.718281828459045 \][/tex]
Derivada quando [tex]\( x > 0 \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 1 - x - \ln(x+1) \][/tex]
Derivando:
[tex]\[ f'(x) = -1 - \frac{1}{x+1} \][/tex]
Substituindo [tex]\( x=0 \)[/tex]:
[tex]\[ f'(0) = -1 - \frac{1}{0+1} = -2 \][/tex]
Como as derivadas laterais não são iguais:
[tex]\[ f'(0^-) = 2.718281828459045 \][/tex]
[tex]\[ f'(0^+) = -2 \][/tex]
Concluímos que [tex]\( f \)[/tex] não é derivável em [tex]\( x=0 \)[/tex].
