Para factorizar [tex]\(8x^3 + 27\)[/tex], seguimos estos pasos:
1. Identificar la expresión dada: La expresión es [tex]\(8x^3 + 27\)[/tex].
2. Reconocer la suma de cubos: La expresión [tex]\(8x^3 + 27\)[/tex] puede ser reconocida como una suma de cubos, ya que [tex]\(8x^3 = (2x)^3\)[/tex] y [tex]\(27 = 3^3\)[/tex]. La forma general de la factorización de la suma de cubos [tex]\(a^3 + b^3\)[/tex] es:
[tex]\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\][/tex]
3. Asignar valores a [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex]:
- Aquí, [tex]\(a = 2x\)[/tex] y [tex]\(b = 3\)[/tex].
4. Escribir la forma factorizada: Usando los valores de [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex], se puede escribir la forma factorizada de [tex]\(8x^3 + 27\)[/tex] como:
[tex]\[
(2x + 3)((2x)^2 - (2x)(3) + 3^2)
\][/tex]
5. Simplificar dentro de los paréntesis:
- [tex]\((2x)^2 = 4x^2\)[/tex]
- [tex]\((2x)(3) = 6x\)[/tex]
- [tex]\(3^2 = 9\)[/tex]
Entonces, la factorización se vuelve:
[tex]\[
(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)
\][/tex]
6. Identificar los coeficientes: A partir de la forma factorizada [tex]\((2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)\)[/tex], podemos identificar:
- [tex]\(a = 2\)[/tex]
- [tex]\(b = 3\)[/tex]
- [tex]\(c = 4\)[/tex]
- [tex]\(d = 6\)[/tex]
- [tex]\(e = 9\)[/tex]
7. Calcular [tex]\(a + b + c - d + e\)[/tex]:
[tex]\[
a + b + c - d + e = 2 + 3 + 4 - 6 + 9
\][/tex]
8. Realizar la suma:
[tex]\[
2 + 3 + 4 = 9
\][/tex]
[tex]\[
9 - 6 = 3
\][/tex]
[tex]\[
3 + 9 = 12
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\(a + b + c - d + e\)[/tex] es [tex]\(12\)[/tex].
