Answer :
Para determinar el número de factores primos de la expresión [tex]\( F(a, b) = 4a^9b^3 + 12a^6b^7 \)[/tex], vamos a seguir los siguientes pasos:
1. Descomponer cada término en factores primos.
2. Identificar todos los factores primos únicos de la expresión.
Paso 1: Descomposición de términos en factores primos
Consideremos los términos individualmente:
Primer término: [tex]\( 4a^9b^3 \)[/tex]
- [tex]\(4 = 2^2\)[/tex] (factores primos de 4 son [tex]\( 2 \)[/tex])
- [tex]\(a^9\)[/tex] (el único factor primo aquí es [tex]\( a \)[/tex], y la potencia es irrelevante para contar la unicidad)
- [tex]\(b^3\)[/tex] (el único factor primo aquí es [tex]\( b \)[/tex], y la potencia es irrelevante para contar la unicidad)
Por lo tanto, los factores del primer término son [tex]\( 2, a, b \)[/tex].
Segundo término: [tex]\( 12a^6b^7 \)[/tex]
- [tex]\(12 = 2^2 \cdot 3\)[/tex] (factores primos de [tex]\( 12 \)[/tex] son [tex]\( 2 \)[/tex] y [tex]\( 3 \)[/tex])
- [tex]\(a^6\)[/tex] (el único factor primo aquí es [tex]\( a \)[/tex])
- [tex]\(b^7\)[/tex] (el único factor primo aquí es [tex]\( b \)[/tex])
Por lo tanto, los factores del segundo término son [tex]\( 2, 3, a, b \)[/tex].
Paso 2: Identificación de factores primos únicos
Ahora, combino los factores primos identificados de ambos términos:
- Del primer término: [tex]\(2, a, b\)[/tex]
- Del segundo término: [tex]\(2, 3, a, b\)[/tex]
Unificando los factores primos y eliminando duplicados, tenemos:
- [tex]\( 2 \)[/tex]
- [tex]\( 3 \)[/tex]
- [tex]\( a \)[/tex]
- [tex]\( b \)[/tex]
Por lo tanto, hay un total de [tex]\(4\)[/tex] factores primos únicos.
Dado que la pregunta presenta opciones, y ninguna opción es [tex]\( 4 \)[/tex], hay que revisar la fórmula dada al final de la pregunta:
Nueva fórmula:
[tex]\[ F(a, b) = 4ab^3 + 12a^6b^7 \][/tex]
Descomposición de términos en factores primos
Primer término: [tex]\( 4ab^3 \)[/tex]
- [tex]\( 4 = 2^2 \)[/tex]
- [tex]\( a \)[/tex]
- [tex]\( b^3 \)[/tex]
Por lo tanto, los factores del primer término son [tex]\( 2, a, b \)[/tex].
Segundo término: [tex]\( 12a^6b^7 \)[/tex]
- [tex]\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)[/tex]
- [tex]\( a^6 \)[/tex]
- [tex]\( b^7 \)[/tex]
Por lo tanto, los factores del segundo término son [tex]\( 2, 3, a, b \)[/tex].
Unificando los factores primos y eliminando duplicados, tenemos:
- [tex]\( 2 \)[/tex]
- [tex]\( 3 \)[/tex]
- [tex]\( a \)[/tex]
- [tex]\( b \)[/tex]
Aún resulta en [tex]\(4\)[/tex] factores primos únicos, pero esta no es una de las opciones dadas.
Puedo concluir que puede haber un error de tipografía en la pregunta o en las opciones dadas. Por tanto, mi análisis se mantiene con la unicidad de los factores encontrados.
Si debo elegir la opción más cercana a la lógica presentada, ninguna de las dadas corresponde al número de factores primos únicos determinados.
1. Descomponer cada término en factores primos.
2. Identificar todos los factores primos únicos de la expresión.
Paso 1: Descomposición de términos en factores primos
Consideremos los términos individualmente:
Primer término: [tex]\( 4a^9b^3 \)[/tex]
- [tex]\(4 = 2^2\)[/tex] (factores primos de 4 son [tex]\( 2 \)[/tex])
- [tex]\(a^9\)[/tex] (el único factor primo aquí es [tex]\( a \)[/tex], y la potencia es irrelevante para contar la unicidad)
- [tex]\(b^3\)[/tex] (el único factor primo aquí es [tex]\( b \)[/tex], y la potencia es irrelevante para contar la unicidad)
Por lo tanto, los factores del primer término son [tex]\( 2, a, b \)[/tex].
Segundo término: [tex]\( 12a^6b^7 \)[/tex]
- [tex]\(12 = 2^2 \cdot 3\)[/tex] (factores primos de [tex]\( 12 \)[/tex] son [tex]\( 2 \)[/tex] y [tex]\( 3 \)[/tex])
- [tex]\(a^6\)[/tex] (el único factor primo aquí es [tex]\( a \)[/tex])
- [tex]\(b^7\)[/tex] (el único factor primo aquí es [tex]\( b \)[/tex])
Por lo tanto, los factores del segundo término son [tex]\( 2, 3, a, b \)[/tex].
Paso 2: Identificación de factores primos únicos
Ahora, combino los factores primos identificados de ambos términos:
- Del primer término: [tex]\(2, a, b\)[/tex]
- Del segundo término: [tex]\(2, 3, a, b\)[/tex]
Unificando los factores primos y eliminando duplicados, tenemos:
- [tex]\( 2 \)[/tex]
- [tex]\( 3 \)[/tex]
- [tex]\( a \)[/tex]
- [tex]\( b \)[/tex]
Por lo tanto, hay un total de [tex]\(4\)[/tex] factores primos únicos.
Dado que la pregunta presenta opciones, y ninguna opción es [tex]\( 4 \)[/tex], hay que revisar la fórmula dada al final de la pregunta:
Nueva fórmula:
[tex]\[ F(a, b) = 4ab^3 + 12a^6b^7 \][/tex]
Descomposición de términos en factores primos
Primer término: [tex]\( 4ab^3 \)[/tex]
- [tex]\( 4 = 2^2 \)[/tex]
- [tex]\( a \)[/tex]
- [tex]\( b^3 \)[/tex]
Por lo tanto, los factores del primer término son [tex]\( 2, a, b \)[/tex].
Segundo término: [tex]\( 12a^6b^7 \)[/tex]
- [tex]\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)[/tex]
- [tex]\( a^6 \)[/tex]
- [tex]\( b^7 \)[/tex]
Por lo tanto, los factores del segundo término son [tex]\( 2, 3, a, b \)[/tex].
Unificando los factores primos y eliminando duplicados, tenemos:
- [tex]\( 2 \)[/tex]
- [tex]\( 3 \)[/tex]
- [tex]\( a \)[/tex]
- [tex]\( b \)[/tex]
Aún resulta en [tex]\(4\)[/tex] factores primos únicos, pero esta no es una de las opciones dadas.
Puedo concluir que puede haber un error de tipografía en la pregunta o en las opciones dadas. Por tanto, mi análisis se mantiene con la unicidad de los factores encontrados.
Si debo elegir la opción más cercana a la lógica presentada, ninguna de las dadas corresponde al número de factores primos únicos determinados.
