Para simplificar la expresión dada
[tex]\[
E=\left[\frac{a^{-1/2} \cdot b^{-2}}{a^{-1/6} \cdot b^{-1}} \div \frac{a^{-1} \cdot b^{-1/2}}{a^{-1/3} \cdot b^{-1/4}}\right]^{-3}
\][/tex]
Vamos a seguir los siguientes pasos:
### Paso 1: Simplificar el numerador y denominador de la primera fracción
La fracción es:
[tex]\[
\frac{a^{-1/2} \cdot b^{-2}}{a^{-1/6} \cdot b^{-1}}
\][/tex]
Juntamos los exponentes de `a` y `b` por separado:
[tex]\[
\frac{a^{-1/2}}{a^{-1/6}} \cdot \frac{b^{-2}}{b^{-1}} = a^{-1/2 - (-1/6)} \cdot b^{-2 - (-1)}
\][/tex]
Simplificamos los exponentes:
[tex]\[
a^{-1/2 + 1/6} \cdot b^{-2 + 1} = a^{-3/6 + 1/6} \cdot b^{-1} = a^{-2/6} \cdot b^{-1} = a^{-1/3} \cdot b^{-1}
\][/tex]
### Paso 2: Simplificar el numerador y denominador de la segunda fracción
La fracción es:
[tex]\[
\frac{a^{-1} \cdot b^{-1/2}}{a^{-1/3} \cdot b^{-1/4}}
\][/tex]
Juntamos los exponentes de `a` y `b` por separado:
[tex]\[
\frac{a^{-1}}{a^{-1/3}} \cdot \frac{b^{-1/2}}{b^{-1/4}} = a^{-1 - (-1/3)} \cdot b{-1/2 - (-1/4)}
\][/tex]
Simplificamos los exponentes:
[tex]\[
a^{-1 + 1/3} \cdot b^{-1/2 + 1/4} = a^{-3/3 + 1/3} \cdot b^{-2/4 + 1/4} = a^{-2/3} \cdot b^{-1/4}
\][/tex]
### Paso 3: Dividir las dos expresiones simplificadas
La expresión resultante es:
[tex]\[
\frac{a^{-1/3} \cdot b^{-1}}{a^{-2/3} \cdot b^{-1/4}}
\][/tex]
Juntamos los exponentes de `a` y `b` por separado:
[tex]\[
\frac{a^{-1/3}}{a^{-2/3}} \cdot \frac{b^{-1}}{b^{-1/4}} = a^{-1/3 - (-2/3)} \cdot b^{-1 - (-1/4)}
\][/tex]
Simplificamos los exponentes:
[tex]\[
a^{-1/3 + 2/3} \cdot b^{-1 + 1/4} = a^{1/3} \cdot b^{-3/4}
\][/tex]
### Paso 4: Elevar la expresión simplificada a la potencia de -3
La expresión completa es:
[tex]\[
(a^{1/3} \cdot b^{-3/4})^{-3}
\][/tex]
Aplicamos la propiedad de la potencia a cada término:
[tex]\[
(a^{1/3})^{-3} \cdot (b^{-3/4})^{-3} = a^{1/3 \cdot -3} \cdot b^{-3/4 \cdot -3} = a^{-1} \cdot b^{9/4}
\][/tex]
### Resultado Final
La expresión final simplificada de [tex]\( E \)[/tex] es:
[tex]\[
E = a^{-1} \cdot b^{2.25}
\][/tex]
