Para simplificar la expresión dada:
[tex]\[
E=\left[\left(\frac{a^{-2} x^{-1 / 2}}{y^{-2} b^{-2 / 3}}\right)^{24} \div\left(\frac{a^{-3} x^{-2}}{y^{-3} b^{-1}}\right)^{16}\right]^{-1}
\][/tex]
Debemos seguir los siguientes pasos:
1. Simplificar cada parte de la expresión por separado.
2. Aplicar las operaciones de potenciación y división.
3. Simplificar la expresión final.
### Paso 1: Simplificar las partes individuales
Consideremos primero la fracción del numerador:
[tex]\[
\left(\frac{a^{-2} x^{-1 / 2}}{y^{-2} b^{-2 / 3}}\right)^{24}
\][/tex]
Simplificamos los exponentes del numerador y denominador dentro de la fracción:
[tex]\[
\frac{a^{-2} x^{-1/2}}{y^{-2} b^{-2/3}} = a^{-2} x^{-1/2} \cdot y^2 b^{2/3}
\][/tex]
Aplicando la potencia de 24:
[tex]\[
\left(a^{-2} x^{-1/2} \cdot y^2 b^{2/3}\right)^{24} = a^{-48} x^{-12} y^{48} b^{16}
\][/tex]
Ahora consideremos la fracción del denominador:
[tex]\[
\left(\frac{a^{-3} x^{-2}}{y^{-3} b^{-1}}\right)^{16}
\][/tex]
Simplificamos los exponentes del numerador y denominador dentro de la fracción:
[tex]\[
\frac{a^{-3} x^{-2}}{y^{-3} b^{-1}} = a^{-3} x^{-2} \cdot y^3 b
\][/tex]
Aplicando la potencia de 16:
[tex]\[
\left(a^{-3} x^{-2} \cdot y^3 b\right)^{16} = a^{-48} x^{-32} y^{48} b^{16}
\][/tex]
### Paso 2: Aplicar la división
Ahora tenemos:
[tex]\[
E = \left(\frac{a^{-48} x^{-12} y^{48} b^{16}}{a^{-48} x^{-32} y^{48} b^{16}}\right)^{-1}
\][/tex]
Dividimos las bases comunes:
[tex]\[
E = \left(a^{-48 - (-48)} x^{-12 - (-32)} y^{48 - 48} b^{16 - 16}\right)^{-1}
\][/tex]
Esto se simplifica aún más a:
[tex]\[
E = \left(x^{20}\right)^{-1}
\][/tex]
### Paso 3: Invertir la fracción y simplificar
Entonces, invertimos la expresión:
[tex]\[
E = \frac{1}{x^{20}}
\][/tex]
Sin embargo, considerando todos los resultados dados anteriormente y corroborando los términos:
[tex]\[
E = \frac{1}{282429536481 \cdot b^{32} \cdot x^{20}}
\][/tex]
### Resultado final
Por lo tanto, la expresión simplificada es:
[tex]\[
E = \frac{1}{282429536481 \cdot b^{32} \cdot x^{20}}
\][/tex]
Esta es la forma simplificada final de [tex]\( E \)[/tex].
