Para resolver esta pregunta, necesitamos encontrar números de cuatro dígitos donde la suma de sus dígitos sea 4 y el producto de sus dígitos sea 0.
1. Comprender las condiciones:
- Queremos números de cuatro dígitos (entre 1000 y 9999).
- La suma de los dígitos debe ser igual a 4.
- Al menos uno de los dígitos debe ser 0, ya que el producto de todos los dígitos debe ser 0.
2. Analizar posibles configuraciones:
- Tenemos cuatro posiciones para los dígitos: [tex]\[a, b, c, d\][/tex] (donde cada letra representa un dígito).
- Dado que uno de los dígitos debe ser 0, podemos analizar los casos posibles considerando las configuraciones válidas de los dígitos restantes que sumen 4.
3. Inspiraciones para configuraciones válidas de los dígitos restantes:
Por ejemplo, si uno de los dígitos es 0, los otros tres deben sumar 4. Podemos listar posibles combinaciones de tres dígitos que sumen 4 y todos sean menores o iguales a 9:
- Si [tex]\(a = 0\)[/tex], entonces [tex]\(b + c + d = 4\)[/tex].
- Si [tex]\(b = 0\)[/tex], entonces [tex]\(a + c + d = 4\)[/tex].
- Si [tex]\(c = 0\)[/tex], entonces [tex]\(a + b + d = 4\)[/tex].
- Si [tex]\(d = 0\)[/tex], entonces [tex]\(a + b + c = 4\)[/tex].
A partir de ahí, las combinaciones posibles donde tres dígitos sumen 4 y al menos uno de ellos sea 0 son las siguientes:
- (1, 1, 2, 0)
- (1, 2, 1, 0)
- (2, 1, 1, 0)
- (4, 0, 0, 0)
4. Enumerar todos los números válidos:
- Cada una de las combinaciones anteriores puede permutarse en varias posiciones dentro de los cuatro dígitos del número.
- Por ejemplo, para (1, 1, 2, 0):
- 0112, 0121, 0211, 1012, 1021, 1102, 1201, 1210, 2011, 2101, 2110
- Y así sucesivamente para cada combinación válida.
5. Contar todas las combinaciones posibles:
- Si contamos todas las permutaciones posibles para las combinaciones válidas considerando la suma y producto de los dígitos, llegamos a un total de 19 números válidos.
Por lo tanto, hay 19 números de cuatro dígitos tales que la suma de sus dígitos es 4 y el producto de sus dígitos es 0.
