Claro, vamos a resolver la ecuación paso a paso para encontrar el valor de [tex]\( x \)[/tex].
Tenemos la ecuación:
[tex]\[
9 \cdot 27^x = 27
\][/tex]
Paso 1: Simplificar la ecuación
Primero, observamos que [tex]\( 27 \)[/tex] puede ser escrito como una potencia con base [tex]\( 27 \)[/tex]:
[tex]\[
27 = 27^1
\][/tex]
Así que la ecuación se puede reescribir como:
[tex]\[
9 \cdot 27^x = 27^1
\][/tex]
Paso 2: Igualar las bases
Para resolver esta ecuación, primero dividimos ambos lados de la ecuación por 9:
[tex]\[
27^x = \frac{27}{9}
\][/tex]
Sabemos que:
[tex]\[
\frac{27}{9} = 3
\][/tex]
Así que la ecuación se reduce a:
[tex]\[
27^x = 3
\][/tex]
Paso 3: Reescribir en términos de la misma base
Sabemos que [tex]\( 27 \)[/tex] puede escribirse como [tex]\( 3^3 \)[/tex] (ya que [tex]\( 27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \)[/tex]):
[tex]\[
(3^3)^x = 3
\][/tex]
Paso 4: Simplificar los exponentes
Usando la propiedad de las potencias [tex]\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)[/tex], reescribimos la ecuación como:
[tex]\[
3^{3x} = 3^1
\][/tex]
Paso 5: Igualar los exponentes
Dado que las bases ya son iguales, podemos igualar los exponentes:
[tex]\[
3x = 1
\][/tex]
Paso 6: Resolver para x
Para encontrar el valor de [tex]\( x \)[/tex], dividimos ambos lados de la ecuación por 3:
[tex]\[
x = \frac{1}{3}
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( x \)[/tex] es [tex]\( \frac{1}{3} \)[/tex].
Entonces, la respuesta correcta es:
[tex]\[
\boxed{\frac{1}{3}}
\][/tex]
