Para resolver la inecuación [tex]\(X^2 - X - 20 \geq 0\)[/tex] seguimos estos pasos:
1. Encontrar las raíces de la ecuación cuadrática asociada:
Para resolver la inecuación, primero encontramos las raíces de la ecuación cuadrática [tex]\(X^2 - X - 20 = 0\)[/tex].
La ecuación cuadrática [tex]\(X^2 - X - 20 = 0\)[/tex] se puede factorizar o resolver usando la fórmula general:
[tex]\[
X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\][/tex]
donde [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = -1\)[/tex] y [tex]\(c = -20\)[/tex].
Calculamos el discriminante:
[tex]\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81
\][/tex]
Entonces las raíces son:
[tex]\[
X = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{1 \pm 9}{2}
\][/tex]
Lo cual da las raíces:
[tex]\[
X_1 = \frac{1 + 9}{2} = 5 \quad \text{y} \quad X_2 = \frac{1 - 9}{2} = -4
\][/tex]
2. Determinar los intervalos relevantes:
Las raíces dividen la recta numérica en tres intervalos:
[tex]\[
(-\infty, -4), \quad (-4, 5) \quad \text{y} \quad (5, \infty)
\][/tex]
3. Probar los intervalos:
Para determinar en cuáles de estos intervalos la expresión cuadrática es mayor o igual a cero, evaluamos un punto de prueba en cada intervalo.
- En el intervalo [tex]\((- \infty, -4)\)[/tex]: podemos probar con [tex]\(X = -5\)[/tex]:
[tex]\[
(-5)^2 - (-5) - 20 = 25 + 5 - 20 = 10 \geq 0
\][/tex]
- En el intervalo [tex]\((-4, 5)\)[/tex]: podemos probar con [tex]\(X = 0\)[/tex]:
[tex]\[
0^2 - 0 - 20 = -20 \not\geq 0
\][/tex]
- En el intervalo [tex]\((5, \infty)\)[/tex]: podemos probar con [tex]\(X = 6\)[/tex]:
[tex]\[
6^2 - 6 - 20 = 36 - 6 - 20 = 10 \geq 0
\][/tex]
4. Incluir las raíces:
Dado que la inecuación es [tex]\(\geq 0\)[/tex], incluimos las raíces en la solución, ya que en [tex]\(X = -4\)[/tex] y [tex]\(X = 5\)[/tex]:
[tex]\[
(-4)^2 - (-4) - 20 = 16 + 4 - 20 = 0 \quad \text{y} \quad 5^2 - 5 - 20 = 25 - 5 - 20 = 0 \][/tex]
5. Combinar los intervalos:
La solución de la inecuación [tex]\(X^2 - X - 20 \geq 0\)[/tex] es la combinación de los intervalos donde la expresión es mayor o igual a cero:
[tex]\[
(-\infty, -4] \cup [5, \infty)
\][/tex]
En términos de notación de intervalos:
[tex]\[
(-\infty < X \leq -4) \cup (5 \leq X < \infty)
\][/tex]
Por lo tanto, el conjunto solución para la inecuación [tex]\(X^2 - X - 20 \geq 0\)[/tex] es:
[tex]\[
(-\infty < X \leq -4) \cup (5 \leq X < \infty)
\][/tex]
