Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.
Observemos primero la secuencia dada:
[tex]\[ 3 \times a^1 ; 2 \times a^2 ; 5 \times a^3 ; 3 \times a^4 ; 2 \times a^5 ; 5 \times a^6 ; \ldots \][/tex]
Podemos notar que hay un patrón que se repite cada tres términos. El patrón es:
[tex]\[ 3, 2, 5 \][/tex]
Queremos encontrar el coeficiente de [tex]\(a\)[/tex] en el término cuyo exponente es 100, es decir, en el término [tex]\(a^{100}\)[/tex].
Para hacerlo, debemos determinar en qué posición del patrón nos encontramos cuando el exponente de [tex]\(a\)[/tex] es 100.
Para determinar la posición en el patrón:
1. Restamos 1 del exponente, ya que las posiciones empiezan en 1, no en 0.
2. Dividimos el resultado por 3 y tomamos el residuo (el sobrante de la división).
Matemáticamente, hacemos lo siguiente:
[tex]\[ \text{Posición en el patrón} = (100 - 1) \mod 3 \][/tex]
[tex]\[ \text{Posición en el patrón} = 99 \mod 3 \][/tex]
[tex]\[ \text{Posición en el patrón} = 0 \][/tex]
El residuo es 0, lo que nos indica que el término [tex]\(a^{100}\)[/tex] está en la posición 0 del patrón.
El patrón [tex]\(3, 2, 5\)[/tex] corresponde a:
- Posición 0: 3
- Posición 1: 2
- Posición 2: 5
Así que cuando estamos en la posición 0 del patrón, el coeficiente para [tex]\(a^{100}\)[/tex] es 3.
Por lo tanto, el coeficiente de [tex]\(a\)[/tex] en el término cuando su exponente es 100 es:
[tex]\[ \boxed{3} \][/tex]
