Answer :
Para resolver el problema de calcular la distancia recorrida por el pez entre los tiempos especificados en la tabla, primero identificamos el desplazamiento del pez en los tiempos intermedios para poder interpolar entre ellos y encontrar las posiciones exactas para los tiempos mencionados. La tabla original proporciona los datos del tiempo (en segundos) y la posición (en metros) en tres puntos distintos:
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline Tiempo (s) & 0 & 1020 & 30401 \\ \hline Posición (m) & 0 & 2758 & 87116 \\ \hline \end{array} \][/tex]
Nos piden calcular:
1. La posición a [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos.
2. La posición a [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos.
3. La posición a [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos.
4. La posición a [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos (donde [tex]\( y = 40 \)[/tex] segundos).
Luego, utilizando estos valores, calcularemos las distancias recorridas en los siguientes intervalos de tiempo:
- Entre [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos y [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos.
- Entre [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos y [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos.
### Paso 1: Interpolación Lineal
La interpolación lineal se usa para aproximar la posición del pez en tiempos que no son directamente dados en la tabla.
#### Posición en [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos
Llamamos [tex]\( P(0) = 0 \)[/tex] y [tex]\( P(1020) = 2758 \)[/tex]. La interpolación lineal entre estos dos puntos nos da la posición en [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos. La posición resulta ser aproximadamente:
[tex]\[ P(10) \approx 27.04 \text{ metros} \][/tex]
#### Posición en [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos
Usando los mismos puntos de referencia, la posición en [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos es aproximadamente:
[tex]\[ P(20) \approx 54.08 \text{ metros} \][/tex]
#### Posición en [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos
Para interpolar a [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos, nuevamente entre [tex]\( P(0) = 0 \)[/tex] y [tex]\( P(1020) = 2758 \)[/tex]:
[tex]\[ P(305) \approx 824.70 \text{ metros} \][/tex]
#### Posición en [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos
Finalmente, la posición en [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos:
[tex]\[ P(60) \approx 162.24 \text{ metros} \][/tex]
### Paso 2: Calcular las Distancias
#### Distancia entre [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos y [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos
La distancia entre estos dos puntos se calcula restando las posiciones correspondientes:
[tex]\[ \text{Distancia}_{10 \text{ s} \to 305 \text{ s}} = P(305) - P(10) = 824.70 - 27.04 = 797.66 \text{ metros} \][/tex]
#### Distancia entre [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos y [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos
De manera similar, restamos las posiciones correspondientes:
[tex]\[ \text{Distancia}_{20 \text{ s} \to 60 \text{ s}} = P(60) - P(20) = 162.24 - 54.08 = 108.16 \text{ metros} \][/tex]
### Resumen de resultados
- Posición a [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos: [tex]\( \approx 27.04 \)[/tex]
- Posición a [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos: [tex]\( \approx 54.08 \)[/tex]
- Posición a [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos: [tex]\( \approx 824.70 \)[/tex]
- Posición a [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos: [tex]\( \approx 162.24 \)[/tex]
- Distancia entre [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos y [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos: [tex]\( \approx 797.66 \)[/tex]
- Distancia entre [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos y [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos: [tex]\( \approx 108.16 \)[/tex]
Estas respuestas nos proporcionan la información completa sobre las posiciones y distancias recorridas por el pez en los intervalos de tiempo especificados.
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline Tiempo (s) & 0 & 1020 & 30401 \\ \hline Posición (m) & 0 & 2758 & 87116 \\ \hline \end{array} \][/tex]
Nos piden calcular:
1. La posición a [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos.
2. La posición a [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos.
3. La posición a [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos.
4. La posición a [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos (donde [tex]\( y = 40 \)[/tex] segundos).
Luego, utilizando estos valores, calcularemos las distancias recorridas en los siguientes intervalos de tiempo:
- Entre [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos y [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos.
- Entre [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos y [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos.
### Paso 1: Interpolación Lineal
La interpolación lineal se usa para aproximar la posición del pez en tiempos que no son directamente dados en la tabla.
#### Posición en [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos
Llamamos [tex]\( P(0) = 0 \)[/tex] y [tex]\( P(1020) = 2758 \)[/tex]. La interpolación lineal entre estos dos puntos nos da la posición en [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos. La posición resulta ser aproximadamente:
[tex]\[ P(10) \approx 27.04 \text{ metros} \][/tex]
#### Posición en [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos
Usando los mismos puntos de referencia, la posición en [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos es aproximadamente:
[tex]\[ P(20) \approx 54.08 \text{ metros} \][/tex]
#### Posición en [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos
Para interpolar a [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos, nuevamente entre [tex]\( P(0) = 0 \)[/tex] y [tex]\( P(1020) = 2758 \)[/tex]:
[tex]\[ P(305) \approx 824.70 \text{ metros} \][/tex]
#### Posición en [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos
Finalmente, la posición en [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos:
[tex]\[ P(60) \approx 162.24 \text{ metros} \][/tex]
### Paso 2: Calcular las Distancias
#### Distancia entre [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos y [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos
La distancia entre estos dos puntos se calcula restando las posiciones correspondientes:
[tex]\[ \text{Distancia}_{10 \text{ s} \to 305 \text{ s}} = P(305) - P(10) = 824.70 - 27.04 = 797.66 \text{ metros} \][/tex]
#### Distancia entre [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos y [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos
De manera similar, restamos las posiciones correspondientes:
[tex]\[ \text{Distancia}_{20 \text{ s} \to 60 \text{ s}} = P(60) - P(20) = 162.24 - 54.08 = 108.16 \text{ metros} \][/tex]
### Resumen de resultados
- Posición a [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos: [tex]\( \approx 27.04 \)[/tex]
- Posición a [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos: [tex]\( \approx 54.08 \)[/tex]
- Posición a [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos: [tex]\( \approx 824.70 \)[/tex]
- Posición a [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos: [tex]\( \approx 162.24 \)[/tex]
- Distancia entre [tex]\( t_1 = 10 \)[/tex] segundos y [tex]\( t_3 = 305 \)[/tex] segundos: [tex]\( \approx 797.66 \)[/tex]
- Distancia entre [tex]\( t_2 = 20 \)[/tex] segundos y [tex]\( t_2 + y = 60 \)[/tex] segundos: [tex]\( \approx 108.16 \)[/tex]
Estas respuestas nos proporcionan la información completa sobre las posiciones y distancias recorridas por el pez en los intervalos de tiempo especificados.
