Answer :
Para determinar si un polinomio es homogéneo o heterogéneo, es importante revisar el grado de cada término en el polinomio.
Un polinomio homogéneo tiene términos que son todos del mismo grado. Es decir, el grado de cada término (la suma de los exponentes de las variables en ese término) es el mismo en todo el polinomio. De lo contrario, el polinomio es heterogéneo.
Veamos cada uno de los polinomios:
a) [tex]\(3a^2b + 4a^3 - 5b^3\)[/tex]
- Primer término: [tex]\(3a^2b\)[/tex] tiene grado [tex]\(2+1=3\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(4a^3\)[/tex] tiene grado [tex]\(3\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(5b^3\)[/tex] tiene grado [tex]\(3\)[/tex]
Todos los términos tienen grado 3. Por lo tanto, este polinomio es homogéneo.
d) [tex]\(4a - 5b + 6c^2 - 8d^3 - 6\)[/tex]
- Primer término: [tex]\(4a\)[/tex] tiene grado [tex]\(1\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(5b\)[/tex] tiene grado [tex]\(1\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(6c^2\)[/tex] tiene grado [tex]\(2\)[/tex]
- Cuarto término: [tex]\(8d^3\)[/tex] tiene grado [tex]\(3\)[/tex]
- Quinto término: [tex]\(6\)[/tex] tiene grado [tex]\(0\)[/tex] (es un término constante)
Los términos tienen diferentes grados. Por lo tanto, este polinomio es heterogéneo.
b) [tex]\(a^4 - a^3b + a^2b^2 + ab^3\)[/tex]
- Primer término: [tex]\(a^4\)[/tex] tiene grado [tex]\(4\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(a^3b\)[/tex] tiene grado [tex]\(3+1=4\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(a^2b^2\)[/tex] tiene grado [tex]\(2+2=4\)[/tex]
- Cuarto término: [tex]\(ab^3\)[/tex] tiene grado [tex]\(1+3=4\)[/tex]
Todos los términos tienen grado 4. Por lo tanto, este polinomio es homogéneo.
e) [tex]\(y^5 - ay^4 + a^2y^3 - a^3y^2 - a^4y + y^5\)[/tex]
- Primer término: [tex]\(y^5\)[/tex] tiene grado [tex]\(5\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(ay^4\)[/tex] tiene grado [tex]\(1+4=5\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(a^2y^3\)[/tex] tiene grado [tex]\(2+3=5\)[/tex]
- Cuarto término: [tex]\(a^3y^2\)[/tex] tiene grado [tex]\(3+2=5\)[/tex]
- Quinto término: [tex]\(a^4y\)[/tex] tiene grado [tex]\(4+1=5\)[/tex]
- Sexto término: [tex]\(y^5\)[/tex] tiene grado [tex]\(5\)[/tex]
Todos los términos tienen grado 5. Por lo tanto, este polinomio es homogéneo.
c) [tex]\(x^5 - bx^4 + abx^3 + ab^3x^2\)[/tex]
- Primer término: [tex]\(x^5\)[/tex] tiene grado [tex]\(5\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(bx^4\)[/tex] tiene grado [tex]\(1+4=5\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(abx^3\)[/tex] tiene grado [tex]\(1+1+3=5\)[/tex]
- Cuarto término: [tex]\(ab^3x^2\)[/tex] tiene grado [tex]\(1+3+2=6\)[/tex]
No todos los términos tienen el mismo grado. Por lo tanto, este polinomio es heterogéneo.
f) [tex]\(-6a^3b^4 - 5a^6b + 8a^2b^5 - b^7\)[/tex]
- Primer término: [tex]\(a^3b^4\)[/tex] tiene grado [tex]\(3+4=7\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(a^6b\)[/tex] tiene grado [tex]\(6+1=7\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(a^2b^5\)[/tex] tiene grado [tex]\(2+5=7\)[/tex]
- Cuarto término: [tex]\(b^7\)[/tex] tiene grado [tex]\(7\)[/tex]
Todos los términos tienen grado 7. Por lo tanto, este polinomio es homogéneo.
Resumiendo:
- Polinomios homogéneos: [tex]\(3a^2b + 4a^3 - 5b^3\)[/tex] y [tex]\(a^4 - a^3b + a^2b^2 + ab^3\)[/tex]
- Polinomios heterogéneos: [tex]\(4a - 5b + 6c^2 - 8d^3 - 6\)[/tex] y [tex]\(x^5 - bx^4 + abx^3 + ab^3x^2\)[/tex]
Un polinomio homogéneo tiene términos que son todos del mismo grado. Es decir, el grado de cada término (la suma de los exponentes de las variables en ese término) es el mismo en todo el polinomio. De lo contrario, el polinomio es heterogéneo.
Veamos cada uno de los polinomios:
a) [tex]\(3a^2b + 4a^3 - 5b^3\)[/tex]
- Primer término: [tex]\(3a^2b\)[/tex] tiene grado [tex]\(2+1=3\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(4a^3\)[/tex] tiene grado [tex]\(3\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(5b^3\)[/tex] tiene grado [tex]\(3\)[/tex]
Todos los términos tienen grado 3. Por lo tanto, este polinomio es homogéneo.
d) [tex]\(4a - 5b + 6c^2 - 8d^3 - 6\)[/tex]
- Primer término: [tex]\(4a\)[/tex] tiene grado [tex]\(1\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(5b\)[/tex] tiene grado [tex]\(1\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(6c^2\)[/tex] tiene grado [tex]\(2\)[/tex]
- Cuarto término: [tex]\(8d^3\)[/tex] tiene grado [tex]\(3\)[/tex]
- Quinto término: [tex]\(6\)[/tex] tiene grado [tex]\(0\)[/tex] (es un término constante)
Los términos tienen diferentes grados. Por lo tanto, este polinomio es heterogéneo.
b) [tex]\(a^4 - a^3b + a^2b^2 + ab^3\)[/tex]
- Primer término: [tex]\(a^4\)[/tex] tiene grado [tex]\(4\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(a^3b\)[/tex] tiene grado [tex]\(3+1=4\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(a^2b^2\)[/tex] tiene grado [tex]\(2+2=4\)[/tex]
- Cuarto término: [tex]\(ab^3\)[/tex] tiene grado [tex]\(1+3=4\)[/tex]
Todos los términos tienen grado 4. Por lo tanto, este polinomio es homogéneo.
e) [tex]\(y^5 - ay^4 + a^2y^3 - a^3y^2 - a^4y + y^5\)[/tex]
- Primer término: [tex]\(y^5\)[/tex] tiene grado [tex]\(5\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(ay^4\)[/tex] tiene grado [tex]\(1+4=5\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(a^2y^3\)[/tex] tiene grado [tex]\(2+3=5\)[/tex]
- Cuarto término: [tex]\(a^3y^2\)[/tex] tiene grado [tex]\(3+2=5\)[/tex]
- Quinto término: [tex]\(a^4y\)[/tex] tiene grado [tex]\(4+1=5\)[/tex]
- Sexto término: [tex]\(y^5\)[/tex] tiene grado [tex]\(5\)[/tex]
Todos los términos tienen grado 5. Por lo tanto, este polinomio es homogéneo.
c) [tex]\(x^5 - bx^4 + abx^3 + ab^3x^2\)[/tex]
- Primer término: [tex]\(x^5\)[/tex] tiene grado [tex]\(5\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(bx^4\)[/tex] tiene grado [tex]\(1+4=5\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(abx^3\)[/tex] tiene grado [tex]\(1+1+3=5\)[/tex]
- Cuarto término: [tex]\(ab^3x^2\)[/tex] tiene grado [tex]\(1+3+2=6\)[/tex]
No todos los términos tienen el mismo grado. Por lo tanto, este polinomio es heterogéneo.
f) [tex]\(-6a^3b^4 - 5a^6b + 8a^2b^5 - b^7\)[/tex]
- Primer término: [tex]\(a^3b^4\)[/tex] tiene grado [tex]\(3+4=7\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(a^6b\)[/tex] tiene grado [tex]\(6+1=7\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(a^2b^5\)[/tex] tiene grado [tex]\(2+5=7\)[/tex]
- Cuarto término: [tex]\(b^7\)[/tex] tiene grado [tex]\(7\)[/tex]
Todos los términos tienen grado 7. Por lo tanto, este polinomio es homogéneo.
Resumiendo:
- Polinomios homogéneos: [tex]\(3a^2b + 4a^3 - 5b^3\)[/tex] y [tex]\(a^4 - a^3b + a^2b^2 + ab^3\)[/tex]
- Polinomios heterogéneos: [tex]\(4a - 5b + 6c^2 - 8d^3 - 6\)[/tex] y [tex]\(x^5 - bx^4 + abx^3 + ab^3x^2\)[/tex]
