Calculate the derivative [tex]f^{\prime}(x)[/tex] and [tex]f^{\prime}(1)[/tex] of the following function:

[tex]f(x) = -10x + 1 + 10[/tex]



Answer :

Para abordar este problema, primero identificamos la función dada:

[tex]\[ f^{\prime}(x) = -10 + 1 + 10 \][/tex]

Debemos calcular explícitamente la expresión de la derivada [tex]\( f^{\prime}(x) \)[/tex] y evaluarla en [tex]\( x = 1 \)[/tex].

### Paso 1: Simplificación de la expresión

La derivada [tex]\( f^{\prime}(x) \)[/tex] está dada por la siguiente expresión que podemos simplificar:

[tex]\[ f^{\prime}(x) = -10 + 1 + 10 \][/tex]

Primero, sumamos los términos constantes:

-10 + 1 = -9
Luego sumamos -9 y 10:

-9 + 10 = 1

Por lo tanto, tenemos:

[tex]\[ f^{\prime}(x) = 1 \][/tex]

### Paso 2: Evaluación de [tex]\( f^{\prime}(1) \)[/tex]

La derivada simplificada que hemos obtenido es una constante, [tex]\( f^{\prime}(x) = 1 \)[/tex]. Esto significa que la tasa de cambio de la función no varía con [tex]\( x \)[/tex] y siempre es 1, sin importar el valor específico de [tex]\( x \)[/tex].

Para encontrar [tex]\( f^{\prime}(1) \)[/tex], simplemente se toma el valor de la función en [tex]\( x = 1 \)[/tex]:

[tex]\[ f^{\prime}(1) = 1 \][/tex]

### Resumen

Hemos encontrado que la derivada, [tex]\( f^{\prime}(x) \)[/tex], es una constante igual a 1. Por lo tanto:
[tex]\[ f^{\prime}(x) = 1 \][/tex]
Y evaluando en [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ f^{\prime}(1) = 1 \][/tex]

Así, nuestras respuestas finales son:

[tex]\[ f^{\prime}(x) = 1 \][/tex]
[tex]\[ f^{\prime}(1) = 1 \][/tex]