Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
### a) Grafica la función
Primero, revisemos la función que nos han dado:
[tex]\[ f(x) = -3 \sqrt{x} \][/tex]
Para graficar esta función, necesitamos calcular algunos valores de [tex]\( f(x) \)[/tex] dado [tex]\( x \)[/tex]. Hagamos una tabla con algunos puntos.
| [tex]\( x \)[/tex] | [tex]\( f(x) = -3 \sqrt{x} \)[/tex] |
|----|--------------------------|
| 0 | [tex]\(-3 \sqrt{0} = 0\)[/tex] |
| 1 | [tex]\(-3 \sqrt{1} = -3\)[/tex] |
| 2 | [tex]\(-3 \sqrt{2} \approx -4.24\)[/tex] |
| 3 | [tex]\(-3 \sqrt{3} \approx -5.20\)[/tex] |
| 4 | [tex]\(-3 \sqrt{4} = -6\)[/tex] |
| 5 | [tex]\(-3 \sqrt{5} \approx -6.71\)[/tex] |
| 6 | [tex]\(-3 \sqrt{6} \approx -7.35\)[/tex] |
| 7 | [tex]\(-3 \sqrt{7} \approx -7.94\)[/tex] |
| 8 | [tex]\(-3 \sqrt{8} \approx -8.49\)[/tex] |
| 9 | [tex]\(-3 \sqrt{9} = -9\)[/tex] |
| 10 | [tex]\(-3 \sqrt{10} \approx -9.49\)[/tex] |
Ahora, con estos puntos podemos graficar la función:
1. El eje [tex]\( x \)[/tex] va de 0 a un valor mayor (por ejemplo, 10).
2. Los valores de [tex]\( f(x) \)[/tex] (eje [tex]\( y \)[/tex]) irán desde 0 hacia valores negativos.
La gráfica tendrá la siguiente forma:
- Comienza en el punto (0, 0).
- Desciende hacia abajo a medida que [tex]\( x \)[/tex] aumenta, ya que [tex]\(-3 \sqrt{x}\)[/tex] es siempre negativo para valores positivos de [tex]\( x \)[/tex].
### b) Encuentra su dominio y su rango:
1. Dominio ([tex]\( D_f \)[/tex]):
La función [tex]\( f(x) = -3 \sqrt{x} \)[/tex] está definida solo para aquellos valores en los cuales [tex]\( \sqrt{x} \)[/tex] es un número real. La raíz cuadrada de un número es real solo cuando el número es mayor o igual a 0.
Entonces, el dominio de [tex]\( f \)[/tex] es:
[tex]\[ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0 \} \][/tex]
En notación de intervalo:
[tex]\[ D_f = [0, \infty) \][/tex]
2. Rango ([tex]\( R_f \)[/tex]):
La función [tex]\( f(x) = -3 \sqrt{x} \)[/tex] multiplica la raíz cuadrada por [tex]\(-3\)[/tex], lo que significa que el resultado siempre será negativo o cero, ya que la raíz cuadrada de un número no negativo es no negativa.
Así, los valores que [tex]\( f(x) \)[/tex] puede tomar van desde 0 hacia valores negativos infinitos.
Entonces, el rango de [tex]\( f \)[/tex] es:
[tex]\[ R_f = \{ y \in \mathbb{R} \mid y \leq 0 \} \][/tex]
En notación de intervalo:
[tex]\[ R_f = (-\infty, 0] \][/tex]
### Respuesta
| [tex]\( x \)[/tex] | [tex]\( 0 \)[/tex] | [tex]\(1\)[/tex] | [tex]\(2\)[/tex] | [tex]\(3\)[/tex] | [tex]\(4\)[/tex] | [tex]\(5\)[/tex] | [tex]\(6\)[/tex] | [tex]\(7\)[/tex] | [tex]\(8\)[/tex] | [tex]\(9\)[/tex] | [tex]\(10\)[/tex] |
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
| [tex]\( f(x) \)[/tex] | 0 | -3 | [tex]\(-4.24\)[/tex] | [tex]\(-5.20\)[/tex] | -6 | [tex]\(-6.71\)[/tex] | [tex]\(-7.35\)[/tex] | [tex]\(-7.94\)[/tex] | [tex]\(-8.49\)[/tex] | -9 | [tex]\(-9.49\)[/tex] |
[tex]\[
D_f = [0, \infty)
\][/tex]
[tex]\[
R_f = (-\infty, 0]
\][/tex]
