Answer :

Para resolver la ecuación [tex]\(\cos(x + y + 30°) \cdot \sec(3y + x - 10°) = 1\)[/tex], sigamos los siguientes pasos:

1. Entender las funciones involucradas: La secante ([tex]\(\sec\)[/tex]) es la función recíproca del coseno, es decir, [tex]\(\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}\)[/tex].

2. Reemplazar la secante por la forma recíproca del coseno:
[tex]\[ \cos(x + y + 30°) \cdot \frac{1}{\cos(3y + x - 10°)} = 1 \][/tex]

3. Simplificar la expresión: Multiplicamos ambos lados por [tex]\(\cos(3y + x - 10°)\)[/tex] para eliminar el denominador:
[tex]\[ \cos(x + y + 30°) = \cos(3y + x - 10°) \][/tex]

4. Usar la propiedad del coseno: Sabemos que [tex]\(\cos(A) = \cos(B)\)[/tex] implica que [tex]\(A = B + 2n\pi\)[/tex] o [tex]\(A = -B + 2n\pi\)[/tex] para cualquier entero [tex]\(n\)[/tex]. Para simplificar, consideraremos solo la primera posibilidad [tex]\(A = B\)[/tex], que es suficiente para encontrar una solución básica.

5. Igualar los ángulos:
[tex]\[ x + y + 30° = 3y + x - 10° \][/tex]

6. Eliminar los términos comunes en ambos lados:
[tex]\[ 30° = 3y - y - 10° \][/tex]
[tex]\[ 30° = 2y - 10° \][/tex]

7. Resolver para [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 30° + 10° = 2y \][/tex]
[tex]\[ 40° = 2y \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{40°}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = 20° \][/tex]

Por lo tanto, el valor de [tex]\(y\)[/tex] que satisface la ecuación es:
[tex]\[ y = 20° \][/tex]