Claro, vamos analisar a equação [tex]\( |2x + 3| = -x - 3 \)[/tex] passo a passo.
### a) Análise dos sinais da equação e divisão em duas equações
A equação fornecida é uma equação modular. Vamos considerar os dois casos possíveis para a expressão dentro do valor absoluto:
1. Caso 1: [tex]\( 2x + 3 \geq 0 \)[/tex]
Quando a expressão dentro da função valor absoluto é não-negativa ([tex]\( 2x + 3 \geq 0 \)[/tex]), o valor absoluto pode ser removido sem alterar a expressão. Desta forma, temos:
[tex]\[
2x + 3 = -x - 3
\][/tex]
2. Caso 2: [tex]\( 2x + 3 < 0 \)[/tex]
Quando a expressão dentro da função valor absoluto é negativa ([tex]\( 2x + 3 < 0 \)[/tex]), a função valor absoluto inverte o sinal da expressão. Portanto, temos:
[tex]\[
-(2x + 3) = -x - 3 \Rightarrow -2x - 3 = -x - 3
\][/tex]
Agora, resolvemos cada uma dessas equações para encontrar os possíveis valores de [tex]\( x \)[/tex].
### Resolvendo as equações
1. Resolvendo a primeira equação:
[tex]\[
2x + 3 = -x - 3
\][/tex]
Vamos isolar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
2x + x = -3 - 3
\][/tex]
[tex]\[
3x = -6
\][/tex]
[tex]\[
x = -2
\][/tex]
2. Resolvendo a segunda equação:
[tex]\[
-2x - 3 = -x - 3
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
-2x + x = -3 + 3
\][/tex]
[tex]\[
-x = 0
\][/tex]
[tex]\[
x = 0
\][/tex]
Assim, temos os valores candidatos para [tex]\( x \)[/tex]: [tex]\(-2\)[/tex] e [tex]\(0\)[/tex].
### b) Teste dos valores encontrados para [tex]\( x \)[/tex], substituindo-os na equação dada
Vamos testar se os valores encontrados satisfazem a equação original [tex]\( |2x + 3| = -x - 3 \)[/tex].
#### Teste para [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
Substituindo [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
[tex]\[
|2(-2) + 3| = -(-2) - 3
\][/tex]
[tex]\[
|-4 + 3| = 2 - 3
\][/tex]
[tex]\[
| -1| = -1
\][/tex]
[tex]\[
1 \neq -1
\][/tex]
Portanto, [tex]\( x = -2 \)[/tex] não é uma solução válida.
#### Teste para [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
Substituindo [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[
|2(0) + 3| = -(0) - 3
\][/tex]
[tex]\[
|0 + 3| = -3
\][/tex]
[tex]\[
|3| = -3
\][/tex]
[tex]\[
3 \neq -3
\][/tex]
Portanto, [tex]\( x = 0 \)[/tex] não é uma solução válida.
### Conclusão
Os valores encontrados para [tex]\( x \)[/tex] ([tex]\(-2\)[/tex] e [tex]\(0\)[/tex]) não satisfazem a equação original [tex]\( |2x + 3| = -x - 3 \)[/tex]. Portanto, não há soluções reais para esta equação.
