Para resolver la función [tex]\( f(x) \)[/tex], primero identificamos los componentes, que manipularemos paso a paso. Veamos cada uno de los términos de [tex]\( f(x) \)[/tex] por separado y expliquemos cómo se componen.
Dada la función:
[tex]\[ f(x) = \left|\frac{x^3}{2} - 5\right|^2 - u_{x-2}\left(3x^2 - 2\right) + 5 \operatorname{sgn}\left(-3x-\frac{2}{3}\right) + |3x-7| \][/tex]
### Paso 1: El primer término
[tex]\[ \left|\frac{x^3}{2} - 5\right|^2 \][/tex]
Este término es el cuadrado del valor absoluto de [tex]\(\frac{x^3}{2} - 5\)[/tex]. Primero calculamos [tex]\(\frac{x^3}{2} - 5\)[/tex] y luego tomamos su valor absoluto, y finalmente elevamos al cuadrado.
### Paso 2: El segundo término
[tex]\[ - u_{x-2}\left(3x^2 - 2\right) \][/tex]
Aquí, [tex]\(u_{x-2}\)[/tex] es una función escalón, que toma valor 1 si [tex]\(x \geq 2\)[/tex] y 0 en caso contrario. Esto significa que:
- Si [tex]\(x < 2\)[/tex], el término completo [tex]\( u_{x-2}\left(3x^2 - 2\right) \)[/tex] es 0.
- Si [tex]\(x \geq 2\)[/tex], deberemos calcular [tex]\(3x^2 - 2\)[/tex] y tomarlo con signo negativo porque va precedido de un signo menos.
### Paso 3: El tercer término
[tex]\[ 5 \operatorname{sgn}\left(-3x-\frac{2}{3}\right) \][/tex]
La función [tex]\(\operatorname{sgn}(y)\)[/tex] devuelve:
- [tex]\(1\)[/tex] si [tex]\(y > 0\)[/tex],
- [tex]\(0\)[/tex] si [tex]\(y = 0\)[/tex],
- [tex]\(-1\)[/tex] si [tex]\(y < 0\)[/tex].
Por lo tanto, [tex]\( \operatorname{sgn}\left(-3x-\frac{2}{3}\right) \)[/tex] devuelve:
- [tex]\(1\)[/tex] si [tex]\(-3x-\frac{2}{3} > 0\)[/tex], es decir, [tex]\(x < -\frac{2}{9}\)[/tex],
- [tex]\(-1\)[/tex] si [tex]\(-3x-\frac{2}{3} < 0\)[/tex], es decir, [tex]\(x > -\frac{2}{9}\)[/tex],
- [tex]\(0\)[/tex] si [tex]\(x = -\frac{2}{9}\)[/tex].
Dependiendo del signo de [tex]\(-3x-\frac{2}{3}\)[/tex], multiplicamos por 5 para obtener este término.
### Paso 4: El cuarto término
[tex]\[ |3x-7| \][/tex]
Este es simplemente el valor absoluto de [tex]\(3x-7\)[/tex].
### Paso 5: Sumar todos los términos
Finalmente, sumamos los cuatro términos calculados en los pasos anteriores para obtener [tex]\(f(x)\)[/tex].
[tex]\[
f(x) = \left|\frac{x^3}{2}-5\right|^2 - u_{x-2}(3 x^2 - 2) + 5 \operatorname{sgn}(-3x-\frac{2}{3}) + |3x - 7|
\][/tex]
Resumen:
1. Calculamos [tex]\(\left|\frac{x^3}{2} - 5\right|^2\)[/tex].
2. Evaluamos [tex]\(- u_{x-2}(3 x^2 - 2)\)[/tex] dependiendo de [tex]\(x < 2\)[/tex] o [tex]\(x \geq 2\)[/tex].
3. Evaluamos [tex]\(5 \operatorname{sgn}(-3x - \frac{2}{3})\)[/tex] dependiendo del valor de [tex]\(-3x - \frac{2}{3}\)[/tex].
4. Calculamos [tex]\(|3x - 7|\)[/tex].
Sumando todos los términos, obtenemos la función final [tex]\(f(x)\)[/tex].
