Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación [tex]\(x^2 + y^2 + 6x - 2y + 3 = 0\)[/tex], vamos a seguir el proceso de completar el cuadrado.
1. Reorganización de la ecuación inicial:
Empezamos con la ecuación:
[tex]\[
x^2 + y^2 + 6x - 2y + 3 = 0
\][/tex]
2. Agrupación de términos relacionados con [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex]:
Agrupamos los términos cuadrados y lineales juntos para [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
x^2 + 6x + y^2 - 2y + 3 = 0
\][/tex]
3. Completando el cuadrado para [tex]\(x\)[/tex]:
Tomamos los términos [tex]\(x^2 + 6x\)[/tex]. Para completar el cuadrado, agregamos y restamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de [tex]\(x\)[/tex] (que es [tex]\(\frac{6}{2} = 3\)[/tex]):
[tex]\[
x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9
\][/tex]
4. Completando el cuadrado para [tex]\(y\)[/tex]:
Tomamos los términos [tex]\(y^2 - 2y\)[/tex]. Para completar el cuadrado, agregamos y restamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de [tex]\(y\)[/tex] (que es [tex]\(\frac{-2}{2} = -1\)[/tex]):
[tex]\[
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
\][/tex]
5. Sustitución en la ecuación original:
Sustituimos los cuadrados completos en la ecuación original:
[tex]\[
(x + 3)^2 - 9 + (y - 1)^2 - 1 + 3 = 0
\][/tex]
Simplificamos la ecuación:
[tex]\[
(x + 3)^2 + (y - 1)^2 - 7 = 0
\][/tex]
6. Reorganización a la forma estándar de la ecuación del círculo:
Llevamos todos los términos constantes al otro lado de la ecuación:
[tex]\[
(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 7
\][/tex]
Ahora la ecuación está en la forma estándar de una circunferencia, [tex]\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)[/tex], donde [tex]\((h, k)\)[/tex] es el centro y [tex]\(r\)[/tex] es el radio.
Comparando con [tex]\((x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 7\)[/tex]:
- El centro [tex]\((h, k)\)[/tex] es:
[tex]\[
h = -3, \quad k = 1
\][/tex]
- El radio [tex]\(r\)[/tex] es:
[tex]\[
r = \sqrt{7} \approx 2.6457513110645907
\][/tex]
Por lo tanto, el centro de la circunferencia es [tex]\((-3, 1)\)[/tex] y el radio es aproximadamente [tex]\(2.6457513110645907\)[/tex].
