¡Claro! Vamos a trabajar hacia atrás para encontrar el valor de [tex]\( k \)[/tex] que hace que el trinomio [tex]\( x^2 - kx + 169 \)[/tex] sea un trinomio cuadrado perfecto.
El objetivo es que [tex]\( x^2 - kx + 169 \)[/tex] sea un trinomio cuadrado perfecto. Esto significa que debe poder escribirse en la forma [tex]\((x-a)^2\)[/tex], donde [tex]\( a \)[/tex] es algún número real.
Veamos:
### Paso 1: Expandir el trinomio cuadrado perfecto
Empezamos con la expresión general de un trinomio cuadrado perfecto:
[tex]\[
(x - 113)^2
\][/tex]
Expandiendo esto, tenemos:
[tex]\[
(x - 113)^2 = x^2 - 226x + 12769
\][/tex]
### Paso 2: Comparar términos del trinomio expandido
Compararemos esto con la expresión original:
[tex]\[
x^2 - kx + 169
\][/tex]
Queremos que estas dos expresiones sean equivalentes.
### Paso 3: Igualar coeficientes
Para que [tex]\( x^2 - kx + 169 \)[/tex] sea igual a [tex]\( x^2 - 226x + 12769 \)[/tex], los coeficientes correspondientes deben ser iguales.
#### Coeficiente del término lineal ([tex]\(x\)[/tex]):
Equivale a igualar los coeficientes de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
-k = -226
\][/tex]
De ahí, sacamos que:
[tex]\[
k = 226
\][/tex]
Este valor de [tex]\( k \)[/tex] asegura que el trinomio [tex]\( x^2 - kx + 169 \)[/tex] sea un trinomio cuadrado perfecto.
### Paso 4: Conclusión
Entonces, el valor de [tex]\( k \)[/tex] que hace que [tex]\( x^2 - kx + 169 \)[/tex] sea un trinomio cuadrado perfecto es:
[tex]\[
k = 226
\][/tex]
¡Y eso es todo! Hemos encontrado que [tex]\( k \)[/tex] debe ser 226 para que [tex]\( x^2 - kx + 169 \)[/tex] sea un trinomio cuadrado perfecto.
