Para determinar cuál de las expresiones dadas podría representar el [tex]$n$[/tex]-ésimo término de la sucesión [tex]$9, 15, 33, 87, \ldots$[/tex], pongamos a prueba cada una de las opciones usando el primer término de la sucesión, que es 9.
1. Opción A: [tex]$n^9$[/tex]
Para [tex]$n = 1$[/tex], la expresión [tex]$n^9$[/tex] se calcula como:
[tex]\[ 1^9 = 1 \][/tex]
El resultado es 1, que no coincide con el primer término de la sucesión, que es 9. Por lo tanto, esta opción no es correcta.
2. Opción B: [tex]$3^n + 6$[/tex]
Para [tex]$n = 1$[/tex], la expresión [tex]$3^n + 6$[/tex] se calcula como:
[tex]\[ 3^1 + 6 = 3 + 6 = 9 \][/tex]
El resultado es 9, que coincide con el primer término de la sucesión. Por lo tanto, esta podría ser una posible expresión para el [tex]$n$[/tex]-ésimo término. Continuamos verificando las otras opciones.
3. Opción C: [tex]$3^{n+1} - n$[/tex]
Para [tex]$n = 1$[/tex], la expresión [tex]$3^{n+1} - n$[/tex] se calcula como:
[tex]\[ 3^{1+1} - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \][/tex]
El resultado es 8, que no coincide con el primer término de la sucesión, que es 9. Por lo tanto, esta opción no es correcta.
4. Opción D: [tex]$3^{n-1} + 6$[/tex]
Para [tex]$n = 1$[/tex], la expresión [tex]$3^{n-1} + 6$[/tex] se calcula como:
[tex]\[ 3^{1-1} + 6 = 3^0 + 6 = 1 + 6 = 7 \][/tex]
El resultado es 7, que no coincide con el primer término de la sucesión, que es 9. Por lo tanto, esta opción no es correcta.
Concluimos que la única expresión que coincide con el primer término de la sucesión es la opción B: [tex]$3^n + 6$[/tex].
Así, la expresión más probable para el [tex]$n$[/tex]-ésimo término de la sucesión [tex]$9, 15, 33, 87, \ldots$[/tex] es:
[tex]\[ 3^n + 6 \][/tex]
