Para resolver el problema de encontrar el número de unidades producidas [tex]\( x \)[/tex] para un costo semanal de 15 mil soles, primero necesitamos sustituir [tex]\( C \)[/tex] en la ecuación dada con el valor 15.
La ecuación original es:
[tex]\[ C = x^2 - 10x - 31 \][/tex]
Sustituimos [tex]\( C \)[/tex] por 15:
[tex]\[ 15 = x^2 - 10x - 31 \][/tex]
Reorganizamos la ecuación para que esté igualada a cero:
[tex]\[ x^2 - 10x - 31 - 15 = 0 \][/tex]
Simplificamos la ecuación:
[tex]\[ x^2 - 10x - 46 = 0 \][/tex]
Esta es una ecuación cuadrática de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex], donde:
[tex]\[ a = 1, \, b = -10, \, c = -46 \][/tex]
Para encontrar las soluciones [tex]\( x \)[/tex] de la ecuación cuadrática, utilizamos la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Sustituimos los valores de [tex]\( a \)[/tex], [tex]\( b \)[/tex], y [tex]\( c \)[/tex] en la fórmula:
[tex]\[ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-46)}}{2 \cdot 1} \][/tex]
Simplificamos dentro de la raíz cuadrada:
[tex]\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 184}}{2} \][/tex]
Calculamos la expresión dentro de la raíz cuadrada:
[tex]\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{284}}{2} \][/tex]
Calculamos el valor de la raíz cuadrada de 284:
[tex]\[ \sqrt{284} \approx 16.85 \][/tex]
Entonces, las dos posibles soluciones son:
[tex]\[ x = \frac{10 + 16.85}{2} \approx \frac{26.85}{2} \approx 13.425 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{10 - 16.85}{2} \approx \frac{-6.85}{2} \approx -3.425 \][/tex]
En este contexto, la cantidad de unidades producidas [tex]\( x \)[/tex] debe ser un valor positivo. Por lo tanto, descartamos la solución negativa. La producción para un costo semanal de 15 mil soles es aproximadamente:
[tex]\[ x \approx 13.426 \text{ (miles de unidades por semana)}. \][/tex]
Esto significa que, para un costo semanal de 15 mil soles, la fábrica debe producir aproximadamente 13,426 unidades por semana.
