Para resolver esta pregunta, procederemos paso a paso:
1. Conversión de [tex]\(120_{(3)}\)[/tex] a base 10:
- El número [tex]\(120\)[/tex] en base 3 se descompone como:
[tex]\[
120_{(3)} = 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0
\][/tex]
- Calculando cada término por separado:
[tex]\[
1 \cdot 3^2 = 1 \cdot 9 = 9
\][/tex]
[tex]\[
2 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6
\][/tex]
[tex]\[
0 \cdot 3^0 = 0
\][/tex]
- Ahora sumamos estos valores:
[tex]\[
9 + 6 + 0 = 15
\][/tex]
Por lo tanto, [tex]\(120_{(3)}\)[/tex] es [tex]\(15\)[/tex] en base 10.
2. Conversión de [tex]\(112_{(4)}\)[/tex] a base 10:
- El número [tex]\(112\)[/tex] en base 4 se descompone como:
[tex]\[
112_{(4)} = 1 \cdot 4^2 + 1 \cdot 4^1 + 2 \cdot 4^0
\][/tex]
- Calculando cada término por separado:
[tex]\[
1 \cdot 4^2 = 1 \cdot 16 = 16
\][/tex]
[tex]\[
1 \cdot 4^1 = 1 \cdot 4 = 4
\][/tex]
[tex]\[
2 \cdot 4^0 = 2 \cdot 1 = 2
\][/tex]
- Ahora sumamos estos valores:
[tex]\[
16 + 4 + 2 = 22
\][/tex]
Por lo tanto, [tex]\(112_{(4)}\)[/tex] es [tex]\(22\)[/tex] en base 10.
3. Encontrar los números naturales entre [tex]\(15\)[/tex] y [tex]\(22\)[/tex]:
- Para encontrar la cantidad de números naturales entre [tex]\(15\)[/tex] y [tex]\(22\)[/tex] (sin incluir los extremos), contamos los números [tex]\(16, 17, 18, 19, 20, 21\)[/tex].
- Contar estos números nos da un total de 6 números.
Con estos cálculos, concluimos que hay [tex]\(6\)[/tex] números naturales entre [tex]\(120_{(3)}\)[/tex] y [tex]\(112_{(4)}\)[/tex].
