Para resolver la inecuación
[tex]\[
\frac{x^2 + 2x + 1}{|x+1|} \leq 3
\][/tex]
procedemos de la siguiente manera:
1. Simplificamos el numerador [tex]\( x^2 + 2x + 1 \)[/tex]:
[tex]\[
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
\][/tex]
Luego, la inecuación se convierte en:
[tex]\[
\frac{(x + 1)^2}{|x + 1|} \leq 3
\][/tex]
2. Consideramos los dos casos para el valor absoluto [tex]\( |x + 1| \)[/tex].
### Caso 1: [tex]\( x + 1 \geq 0 \)[/tex] (es decir, [tex]\( x \geq -1 \)[/tex])
Si [tex]\( x + 1 \geq 0 \)[/tex], entonces [tex]\( |x + 1| = x + 1 \)[/tex]. La inecuación se simplifica a:
[tex]\[
\frac{(x + 1)^2}{x + 1} \leq 3
\][/tex]
Podemos cancelar [tex]\( x + 1 \)[/tex] en el numerador y el denominador, siempre que [tex]\( x + 1 \neq 0 \)[/tex]:
[tex]\[
x + 1 \leq 3
\][/tex]
Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x \leq 2
\][/tex]
Por lo tanto, para [tex]\( x \geq -1 \)[/tex], la solución es:
[tex]\[
-1 \leq x \leq 2
\][/tex]
### Caso 2: [tex]\( x + 1 < 0 \)[/tex] (es decir, [tex]\( x < -1 \)[/tex])
Si [tex]\( x + 1 < 0 \)[/tex], entonces [tex]\( |x + 1| = -(x + 1) \)[/tex]. La inecuación se simplifica a:
[tex]\[
\frac{(x + 1)^2}{-(x + 1)} \leq 3
\][/tex]
Podemos cancelar [tex]\( x + 1 \)[/tex] en el numerador y el denominador, siempre que [tex]\( x + 1 \neq 0 \)[/tex]:
[tex]\[
-(x + 1) \leq 3
\][/tex]
Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
-x - 1 \leq 3
\][/tex]
[tex]\[
-x \leq 4
\][/tex]
[tex]\[
x \geq -4
\][/tex]
Por tanto, para [tex]\( x < -1 \)[/tex], la solución es:
[tex]\[
-4 \leq x < -1
\][/tex]
### Combinando ambos casos:
La solución general [tex]\( x \)[/tex] se obtiene combinando ambos resultados, excluyendo el valor donde el denominador es cero:
[tex]\[
-4 \leq x < -1 \quad \text{y} \quad -1 \leq x \leq 2
\][/tex]
[tex]\[
-4 \leq x \leq 2 \quad \text{excepto} \quad x \neq -1
\][/tex]
Se representa como:
[tex]\[
CS = [-4, 2] - \{-1\}
\][/tex]
Donde:
- [tex]\(a = -4\)[/tex]
- [tex]\(b = 2\)[/tex]
- [tex]\(c = -1\)[/tex]
Finalmente, calculamos el producto:
[tex]\[
a \cdot b \cdot c = (-4) \cdot 2 \cdot (-1) = 8
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( a \cdot b \cdot c \)[/tex] es:
[tex]\[
\boxed{8}
\][/tex]
