Claro, vamos a deducir paso a paso la regla que genera la sucesión dada:
Tenemos la sucesión:
[tex]\[ 17, 21, 25, 29, 33, \ldots \][/tex]
1. Encontrar la diferencia común:
La sucesión parece ser aritmética, ya que la diferencia entre términos consecutivos es constante. Vamos a calcular la diferencia entre el segundo y primer término:
[tex]\[
21 - 17 = 4
\][/tex]
De la misma forma, verificamos el siguiente par de términos:
[tex]\[
25 - 21 = 4
\][/tex]
Entonces, la diferencia común entre los términos es [tex]\(4\)[/tex].
2. Fórmula del término [tex]\( n \)[/tex]-ésimo:
Para una sucesión aritmética, la fórmula del término [tex]\( n \)[/tex]-ésimo se puede escribir como:
[tex]\[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
\][/tex]
donde [tex]\( a_n \)[/tex] es el [tex]\( n \)[/tex]-ésimo término, [tex]\( a_1 \)[/tex] es el primer término de la sucesión, [tex]\( n \)[/tex] es el número del término, y [tex]\( d \)[/tex] es la diferencia común.
En nuestra sucesión, sabemos que:
[tex]\[
a_1 = 17 \quad \text{y} \quad d = 4
\][/tex]
Entonces, la fórmula general será:
[tex]\[
a_n = 17 + (n - 1) \cdot 4
\][/tex]
Simplifiquemos esta fórmula:
[tex]\[
a_n = 17 + 4n - 4 = 4n + 13
\][/tex]
3. Verificación de la regla:
Ahora vamos a verificar si las reglas suministradas generan los términos correctos de la sucesión. Las reglas propuestas son:
[tex]\[
4n + 21, \quad 4n + 13, \quad 4n + 17
\][/tex]
Sustituimos [tex]\( n = 0 \)[/tex], ya que parece que las reglas proporcionadas podrían estar desplazadas en su índice.
- Para [tex]\( 4n + 21 \)[/tex]:
[tex]\[
4(0) + 21 = 21 \quad \text{(Esto no es el primer término de la sucesión)}
\][/tex]
- Para [tex]\( 4n + 13 \)[/tex]:
[tex]\[
4(0) + 13 = 13 \quad \text{(Esto no es el primer término de la sucesión, pero podría funcionar con un índice desplazado)}
\][/tex]
- Para [tex]\( 4n + 17 \)[/tex]:
[tex]\[
4(0) + 17 = 17 \quad \text{(Esto es el primer término de la sucesión)}
\][/tex]
Entonces, parece que para [tex]\( n = 0 \)[/tex] la regla [tex]\( 4n + 17 \)[/tex] da el valor correcto del primer término.
Dado el análisis anterior, la regla que correctamente genera la sucesión es:
[tex]\[
4n + 17
\][/tex]
