Para resolver este problema, vamos a seguir varios pasos:
1. Encontrar las raíces de la ecuación cuadrática:
La ecuación cuadrática que se nos da es [tex]\( x^2 + 2x + 1 = 0 \)[/tex].
Para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex], utilizamos la fórmula general:
[tex]\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\][/tex]
En este caso, los coeficientes son: [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = 2 \)[/tex], y [tex]\( c = 1 \)[/tex].
El discriminante ([tex]\( \Delta \)[/tex]) se calcula como:
[tex]\[
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0
\][/tex]
Dado que el discriminante es 0, sabemos que hay una raíz doble. Entonces, la raíz se calcula como:
[tex]\[
x_1 = x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \frac{-2}{2 \times 1} = -1
\][/tex]
Por lo tanto, las raíces son [tex]\( x_1 = -1 \)[/tex] y [tex]\( x_2 = -1 \)[/tex].
2. Calcular [tex]\( x_1^3 \)[/tex] y [tex]\( x_2^3 \)[/tex]:
Ahora, tenemos que calcular el cubo de cada raíz:
[tex]\[
x_1^3 = (-1)^3 = -1
\][/tex]
[tex]\[
x_2^3 = (-1)^3 = -1
\][/tex]
3. Sumar los cubos de las raíces:
Finalmente, sumamos los cubos de las raíces:
[tex]\[
x_1^3 + x_2^3 = -1 + (-1) = -2
\][/tex]
Por lo tanto, [tex]\( x_1^3 + x_2^3 = -2 \)[/tex].
