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2. Hallar el centro y el radio de las circunferencias siguientes. Determinar si cada una de ellas es real, imaginaria o se reduce a un punto. Aplicar la fórmula y comprobarla por suma y resta de los términos adecuados para completar cuadrados.

a) [tex]\(x^2 + y^2 - 8x + 10y - 12 = 0\)[/tex]

Sol. [tex]\((4, -5), \quad r = \sqrt{53}, \quad \text{real}\)[/tex]

b) [tex]\(3x^2 + 3y^2 - 4x + 2y + 6 = 0\)[/tex]

Sol. [tex]\(\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right), \quad r = \frac{1}{3} \sqrt{-13}, \quad \text{imaginaria}\)[/tex]

c) [tex]\(x^2 + y^2 - 8x - 7y = 0\)[/tex]

Sol. [tex]\(\left(4, \frac{7}{2}\right), \quad r = \frac{1}{2} \sqrt{113}, \quad \text{real}\)[/tex]

d) [tex]\(x^2 + y^2 = 0\)[/tex]

Sol. [tex]\((0,0), \quad r = 0, \quad \text{un punto}\)[/tex]

e) [tex]\(2x^2 + 2y^2 - x = 0\)[/tex]

Sol. [tex]\(\left(\frac{1}{4}, 0\right), \quad r = \frac{1}{4}, \quad \text{real}\)[/tex]



Answer :

GinnyAnswer
Para resolver el problema de hallar el centro y el radio de una circunferencia y determinar si es real, imaginaria o se reduce a un punto, utilizamos la fórmula general de una circunferencia [tex]$Ax^2 + Ay^2 + Bx + Cy + D = 0$[/tex].

Vamos a resolver el inciso e): [tex]\( 2x^2 + 2y^2 - x = 0 \)[/tex].

### Paso 1: Estandarización del término cuadrático
Primero, observamos que los coeficientes de [tex]\(x^2\)[/tex] y [tex]\(y^2\)[/tex] son iguales y positivos, lo que confirma que la figura es una circunferencia. Si no lo estuvieran, tendríamos que hacer divisiones o multiplicaciones adecuadas, pero en este caso está correcto.

### Paso 2: Coeficientes de la ecuación
Identificamos los coeficientes y los términos independientes:
- [tex]\(A = 2\)[/tex]
- [tex]\(B = -1\)[/tex]
- [tex]\(C = 0\)[/tex]
- [tex]\(D = 0\)[/tex]

### Paso 3: Completar el cuadrado
#### Para [tex]\(x\)[/tex]:
Reescribimos los términos relacionados con [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[2x^2 - x = 2\left(x^2 - \frac{1}{2}x\right)\][/tex]

Para completar el cuadrado de [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - \frac{1}{2}x = \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 \][/tex]
[tex]\[ 2\left(x^2 - \frac{1}{2}x\right) = 2\left(\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2\right) \][/tex]

Descomponemos:
[tex]\[ 2(x - \frac{1}{4})^2 - 2\left(\frac{1}{16}\right) \][/tex]
[tex]\[ 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{8} \][/tex]

#### Para [tex]\(y\)[/tex]:
Dado que no hay términos lineales en [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[2y^2 = 2(y - 0)^2\][/tex]

### Paso 4: Ecuación modificada
Sustituimos:
[tex]\[ 2(x - \frac{1}{4})^2 + 2(y - 0)^2 = \frac{1}{8} \][/tex]

### Paso 5: Simplificación para determinar el radio
Dividimos toda la ecuación entre 2:
[tex]\[ \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + (y - 0)^2 = \frac{1}{16} \][/tex]

### Resultado
De la ecuación final, identificamos el centro [tex]\((h, k)\)[/tex] y el radio [tex]\(r\)[/tex]:
- Centro, [tex]\((h, k) = (\frac{1}{4}, 0)\)[/tex]
- Radio, [tex]\(r = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}\)[/tex]

### Conclusión
La circunferencia es real con:
- Centro: [tex]\((\frac{1}{4}, 0)\)[/tex]
- Radio: [tex]\(\frac{1}{4}\)[/tex]

Esta circunferencia existe en el plano, no es imaginaria ni se reduce a un punto.

So the solution to e) is: [tex]\((\frac{1}{4}, 0)\)[/tex], [tex]\(r = \frac{1}{4}\)[/tex], real.

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