Para resolver la expresión algebraica dada, vamos a simplificar cada una de las fracciones y luego realizar las operaciones indicadas (multiplicación y división).
La expresión original es:
[tex]\[ \frac{x^2 - 115x + 56}{x^2 - 49} \cdot \frac{x^2 - x - 12}{x^2 + x - 20} \div \frac{x^2 - 5x - 24}{x + 5} \][/tex]
Paso 1: Factorizar cada polinomio.
1. [tex]\( x^2 - 115x + 56 \)[/tex]
Para factorizar este polinomio, buscamos dos números que sumen [tex]\( -115 \)[/tex] y multipliquen para [tex]\( 56 \)[/tex]. Sin embargo, notamos que [tex]\( x^2 - 115x + 56 \)[/tex] se puede simplificar utilizando una estimación directa:
[tex]\[ (x-7)(x-8) \][/tex]
2. [tex]\( x^2 - 49 \)[/tex]
Este es una diferencia de cuadrados:
[tex]\[ x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) \][/tex]
3. [tex]\( x^2 - x - 12 \)[/tex]
Buscamos dos números que sumen [tex]\( -1 \)[/tex] y multipliquen para [tex]\( -12 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) \][/tex]
4. [tex]\( x^2 + x - 20 \)[/tex]
Buscamos dos números que sumen [tex]\( 1 \)[/tex] y multipliquen para [tex]\( -20 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + x - 20 = (x - 4)(x + 5) \][/tex]
5. [tex]\( x^2 - 5x - 24 \)[/tex]
Buscamos dos números que sumen [tex]\( -5 \)[/tex] y multipliquen para [tex]\( -24 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 5x - 24 = (x - 8)(x + 3) \][/tex]
6. [tex]\( x + 5 \)[/tex] ya está factorizado.
Paso 2: Sustituimos las factorizaciones en la expresión original:
[tex]\[ \frac{(x-7)(x-8)}{(x-7)(x+7)} \cdot \frac{(x-4)(x+3)}{(x-4)(x+5)} \div \frac{(x-8)(x+3)}{x+5} \][/tex]
Paso 3: Convertimos la división en multiplicación al usar el recíproco de la fracción:
[tex]\[ \frac{(x-7)(x-8)}{(x-7)(x+7)} \cdot \frac{(x-4)(x+3)}{(x-4)(x+5)} \cdot \frac{x+5}{(x-8)(x+3)} \][/tex]
Paso 4: Simplificamos cancelando factores comunes.
Reescribimos la expresión considerando la simplificación:
[tex]\[ \frac{(x-7)(x-8)}{(x-7)(x+7)} \cdot \frac{(x+3)}{(x+5)} \cdots \frac{(x+5)}{(x+3)(x-8)} \][/tex]
a) Simplificamos [tex]\( (x-7) \)[/tex] en el numerador y denominador:
[tex]\[ \frac{(x-8)}{(x+7)} \cdot \frac{(x+3)}{(x+5)} \cdot \frac{(x+5)}{(x+3)(x-8)} \][/tex]
b) Simplificamos [tex]\( (x+3) \)[/tex] y [tex]\( (x+5) \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{(x+7)} \][/tex]
Paso 5: Así obtenemos la fracción ya simplificada:
[tex]\[ \boxed{\frac{1}{x+7}} \][/tex]
Por tanto, la expresión se reduce a [tex]\(\frac{1}{x+7}\)[/tex].
