Pour cette question, analysons la situation géométrique donnée :
On nous dit qu'un point [tex]\( M \)[/tex] se trouve à égale distance des extrémités d'un segment [tex]\([AB]\)[/tex]. Cela signifie que [tex]\( M \)[/tex] est équidistant de [tex]\( A \)[/tex] et de [tex]\( B \)[/tex]. Lorsque cela se produit, le point [tex]\( M \)[/tex] appartient à une droite qui possède des propriétés spécifiques par rapport à ce segment [tex]\[AB\][/tex].
Revenons sur les différentes options proposées :
a) Une droite perpendiculaire au segment [tex]\([AB]\)[/tex] en [tex]\( A \)[/tex] :
- Si une droite est perpendiculaire au segment [tex]\([AB]\)[/tex] en [tex]\( A \)[/tex], alors cette droite passerait par [tex]\( A \)[/tex] mais cela n'indique pas que [tex]\( M \)[/tex] soit forcément sur cette droite. Cette droite ne nous assure pas l'équidistance à [tex]\( A \)[/tex] et à [tex]\( B \)[/tex].
b) Une droite perpendiculaire au segment [tex]\([AB]\)[/tex] en [tex]\( B \)[/tex] :
- De manière similaire à l'option a), une droite perpendiculaire au segment [tex]\([AB]\)[/tex] en [tex]\( B \)[/tex] passerait par [tex]\( B \)[/tex], mais encore une fois, cela ne garantit pas que [tex]\( M \)[/tex] soit équidistant de [tex]\( A \)[/tex] et de [tex]\( B \)[/tex].
c) Une droite perpendiculaire au segment [tex]\([AB]\)[/tex] en son milieu :
- Si une droite est perpendiculaire au segment [tex]\([AB]\)[/tex] en son milieu, alors cette droite est appelée la médiatrice du segment [tex]\([AB]\)[/tex]. Par définition, tous les points situés sur la médiatrice d'un segment sont équidistants des extrémités du segment. Donc, [tex]\( M \)[/tex] se trouvant à égale distance de [tex]\( A \)[/tex] et de [tex]\( B \)[/tex] doit nécessairement se trouver sur cette médiatrice.
d) Une droite perpendiculaire qui n'est pas perpendiculaire au segment [tex]\([AB]\)[/tex] :
- Cet énoncé est contradictoire en lui-même. Une droite ne peut être perpendiculaire et en même temps ne pas être perpendiculaire au même segment. Cette option ne fait pas de sens géométriquement.
Donc, la bonne réponse est :
c) une droite perpendiculaire au segment [tex]\([AB]\)[/tex] en son milieu.
