¡Vamos a resolver el problema paso a paso!
Primero, partimos de la ecuación dada:
[tex]\[
a^{-1} + b^{-1} = 4(a + b)^{-1}
\][/tex]
Podemos reescribir estos recíprocos de la siguiente manera:
[tex]\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 4 \cdot \frac{1}{a + b}
\][/tex]
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex], y [tex]\(a + b\)[/tex] para deshacernos de los denominadores:
[tex]\[
b(a + b) + a(a + b) = 4ab
\][/tex]
Distribuimos los términos en el numerador de ambos lados:
[tex]\[
ba + b^2 + a^2 + ab = 4ab
\][/tex]
Agrupamos términos semejantes:
[tex]\[
a^2 + b^2 + 2ab = 4ab
\][/tex]
Simplificamos restando [tex]\(2ab\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[
a^2 + b^2 = 2ab
\][/tex]
Observamos que [tex]\(a^2 + b^2 = 2ab\)[/tex] puede factorizarse y reescribirse como:
[tex]\[
a^2 - 2ab + b^2 = 0
\][/tex]
Esto se reconoce como el cuadrado de una diferencia:
[tex]\[
(a - b)^2 = 0
\][/tex]
Al tomar la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos:
[tex]\[
a - b = 0 \implies a = b
\][/tex]
Ahora que sabemos que [tex]\(a = b\)[/tex], sustituimos esta relación en la expresión original para [tex]\(Z\)[/tex]:
[tex]\[
Z = \frac{2a^3 + 4a^2b + 3b^3}{8a^3 + b^3}
\][/tex]
Ya que [tex]\(a = b\)[/tex], podemos sustituir [tex]\(b\)[/tex] con [tex]\(a\)[/tex]:
[tex]\[
Z = \frac{2a^3 + 4a^2a + 3a^3}{8a^3 + a^3}
\][/tex]
Simplificamos al combinar términos semejantes:
[tex]\[
Z = \frac{2a^3 + 4a^3 + 3a^3}{8a^3 + a^3}
\][/tex]
[tex]\[
Z = \frac{9a^3}{9a^3}
\][/tex]
Simplificamos el numerador con el denominador:
[tex]\[
Z = 1
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\(Z\)[/tex] es:
[tex]\[
Z = \frac{2a^3 + 4a^2b + 3b^3}{8a^3 + b^3}
\][/tex]
Al evaluar [tex]\(a = b\)[/tex] en [tex]\(Z\)[/tex], obtenemos que [tex]\(Z = 1\)[/tex].
Sin embargo, la fórmula original que hemos derivado de la pregunta es:
[tex]\[
Z = \frac{2a^3 + 4a^2b + 3b^3}{8a^3 + b^3}
\][/tex]
Portando seguimos los pasos correctamente, obtuvimos:
[tex]\[
Z = \frac{2a^3 + 4a^2b + 3b^3}{8a^3 + b^3}
\][/tex]
Esta expresión es correcta y representa el resultado según los cálculos mostrados.
