Claro, vamos a simplificar la expresión [tex]\( E \)[/tex] paso a paso:
[tex]\[ E = \frac{\left[\left(x^2 + 2 \sqrt{2}\right)^2 + \left(x^2 - 2 \sqrt{2}\right)^2\right]^2}{\left[\left(x^2 + 1\right)\left(x^2 + 8\right) - 9 x^2 \right]^2} \][/tex]
### Paso 1: Expande las expresiones en el numerador
Primero, expandamos cada uno de los términos dentro del numerador:
1. [tex]\(\left(x^2 + 2\sqrt{2}\right)^2\)[/tex]:
[tex]\[
(x^2 + 2\sqrt{2})^2 = x^4 + 4x^2 \sqrt{2} + 8
\][/tex]
2. [tex]\(\left(x^2 - 2\sqrt{2}\right)^2\)[/tex]:
[tex]\[
(x^2 - 2\sqrt{2})^2 = x^4 - 4x^2 \sqrt{2} + 8
\][/tex]
Ahora sumamos estas dos expresiones:
[tex]\[
(x^4 + 4x^2 \sqrt{2} + 8) + (x^4 - 4x^2 \sqrt{2} + 8)
\][/tex]
Al sumar, los términos [tex]\(4x^2 \sqrt{2}\)[/tex] y [tex]\(-4x^2 \sqrt{2}\)[/tex] se cancelan:
[tex]\[
2x^4 + 16
\][/tex]
Así, el numerador simplificado es:
[tex]\[
\left(2x^4 + 16\right)^2
\][/tex]
### Paso 2: Expande las expresiones en el denominador
Ahora expandamos el denominador:
[tex]\[
(x^2 + 1)(x^2 + 8) - 9x^2
\][/tex]
1. Primero, expandamos [tex]\((x^2 + 1)(x^2 + 8)\)[/tex]:
[tex]\[
(x^2 + 1)(x^2 + 8) = x^4 + 8x^2 + x^2 + 8 = x^4 + 9x^2 + 8
\][/tex]
2. Luego, restamos [tex]\(9x^2\)[/tex]:
[tex]\[
x^4 + 9x^2 + 8 - 9x^2 = x^4 + 8
\][/tex]
Así, el denominador se simplifica a:
[tex]\[
(x^4 + 8)^2
\][/tex]
### Paso 3: Simplificación del cociente
Ahora tenemos:
[tex]\[
E = \frac{(2x^4 + 16)^2}{(x^4 + 8)^2}
\][/tex]
Observamos que [tex]\(2x^4 + 16\)[/tex] puede ser reescrito como [tex]\(2(x^4 + 8)\)[/tex]:
[tex]\[
(2(x^4 + 8))^2
\][/tex]
Esto se convierte en:
[tex]\[
\frac{(2(x^4 + 8))^2}{(x^4 + 8)^2}
\][/tex]
Los términos [tex]\((x^4 + 8)^2\)[/tex] en el numerador y denominador se cancelan:
[tex]\[
E = 2^2 = 4
\][/tex]
Por lo tanto, la expresión simplificada es:
[tex]\[
E = 4
\][/tex]
Así, la simplificación de la expresión dada es [tex]\( E = 4 \)[/tex].
