¡Claro! Vamos a resolver el sistema de ecuaciones
[tex]\[ \begin{cases}
2x + 3y = a \\
4x + 6y = b
\end{cases} \][/tex]
asumiendo diferentes valores para [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] para obtener los casos solicitados.
### Caso 1: El sistema tenga infinitas soluciones
Para que el sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones, las dos ecuaciones deben ser múltiplos exactos la una de la otra. Esto significa que deben representar la misma línea en el espacio de coordenadas.
[tex]\[ \begin{cases}
2x + 3y = a \\
4x + 6y = b
\end{cases} \][/tex]
Podemos observar que la segunda ecuación es el doble de la primera:
[tex]\[ 4x + 6y = 2 \cdot (2x + 3y) = 2a \][/tex]
Entonces, para que ambas ecuaciones sean equivalentes, [tex]\(b\)[/tex] debe ser igual a [tex]\(2a\)[/tex].
Podemos elegir valores arbitrarios para [tex]\(a\)[/tex] y calcular [tex]\(b\)[/tex]:
- Si [tex]\(a = 1\)[/tex], entonces [tex]\(b = 2 \cdot a = 2\)[/tex].
Por lo tanto, para que el sistema tenga infinitas soluciones, los valores son
[tex]\[ a = 1 \][/tex]
[tex]\[ b = 2 \][/tex]
### Caso 2: El sistema no tenga solución
Para que el sistema no tenga solución, las dos ecuaciones deben ser paralelas pero no equivalentes. Esto significa que tienen que tener los mismos coeficientes para [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex], pero diferentes términos constantes, lo cual crea dos líneas paralelas que nunca se intersectan.
[tex]\[ \begin{cases}
2x + 3y = a \\
4x + 6y = b
\end{cases} \][/tex]
Debemos asegurar que el lado izquierdo sea igual, pero los términos constantes (los valores de [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex]) sean diferentes:
Sabemos que:
[tex]\[ 4x + 6y = 2 \cdot (2x + 3y) \][/tex]
Para que no haya solución, [tex]\(b\)[/tex] debe ser diferente del doble de [tex]\(a\)[/tex]. Por ejemplo, podemos escoger:
- Si [tex]\(a = 1\)[/tex], entonces [tex]\(b \neq 2 \cdot a = 2\)[/tex].
Podemos elegir [tex]\(b = 3\)[/tex] para asegurar que las ecuaciones no sean múltiples iguales:
Por lo tanto, para que el sistema no tenga solución, los valores son
[tex]\[ a = 1 \][/tex]
[tex]\[ b = 3 \][/tex]
En resumen:
- Para infinitas soluciones: [tex]\(a = 1\)[/tex] y [tex]\(b = 2\)[/tex].
- Para no tener solución: [tex]\(a = 1\)[/tex] y [tex]\(b = 3\)[/tex].
