Para resolver el sistema de desigualdades dado, sigamos cada una de las desigualdades por separado y luego encontremos la intersección de las soluciones.
### Primera desigualdad:
[tex]\[ 8 - x < x + 12 \][/tex]
1. Restamos [tex]\( x \)[/tex] en ambos lados:
[tex]\[ 8 - x - x < x + 12 - x \][/tex]
[tex]\[ 8 - 2x < 12 \][/tex]
2. Restamos 8 en ambos lados:
[tex]\[ 8 - 8 - 2x < 12 - 8 \][/tex]
[tex]\[ -2x < 4 \][/tex]
3. Dividimos ambos lados por -2 y recordamos cambiar el signo de la desigualdad:
[tex]\[ -2x / -2 > 4 / -2 \][/tex]
[tex]\[ x > -2 \][/tex]
Por lo tanto, la solución de la primera desigualdad es:
[tex]\[ x > -2 \][/tex]
### Segunda desigualdad:
[tex]\[ \frac{5x - 2}{4} \leq 12 \][/tex]
1. Multiplicamos ambos lados por 4 para eliminar el denominador:
[tex]\[ 4 \cdot \frac{5x - 2}{4} \leq 12 \cdot 4 \][/tex]
[tex]\[ 5x - 2 \leq 48 \][/tex]
2. Sumamos 2 en ambos lados:
[tex]\[ 5x - 2 + 2 \leq 48 + 2 \][/tex]
[tex]\[ 5x \leq 50 \][/tex]
3. Dividimos ambos lados por 5:
[tex]\[ 5x / 5 \leq 50 / 5 \][/tex]
[tex]\[ x \leq 10 \][/tex]
Por lo tanto, la solución de la segunda desigualdad es:
[tex]\[ x \leq 10 \][/tex]
### Intersección de las soluciones:
- De la primera desigualdad tenemos que [tex]\( x > -2 \)[/tex].
- De la segunda desigualdad tenemos que [tex]\( x \leq 10 \)[/tex].
La solución conjunta es la intersección de ambas desigualdades:
[tex]\[ -2 < x \leq 10 \][/tex]
Por lo tanto, la solución del sistema de desigualdades es:
[tex]\[ x \in (-2, 10] \][/tex]
En resumen:
- Primera desigualdad: [tex]\( x > -2 \)[/tex]
- Segunda desigualdad: [tex]\( x \leq 10 \)[/tex]
- Solución conjunta: [tex]\( -2 < x \leq 10 \)[/tex]
