Para resolver el sistema de ecuaciones lineales y encontrar el punto de intersección, podemos seguir el método de sustitución o el método de eliminación. Usaremos el método de eliminación en este caso.
Tenemos el sistema de ecuaciones:
[tex]\[
\begin{array}{l}
4x - 2y = 10 \quad \text{(1)} \\
3x + y = 5 \quad \text{(2)}
\end{array}
\][/tex]
### Paso 1: Despejar una variable en una de las ecuaciones.
La ecuación (2) ya tiene el término [tex]\( y \)[/tex] con coeficiente 1, lo que hace conveniente despejar [tex]\( y \)[/tex]. De la ecuación (2):
[tex]\[
3x + y = 5 \\
y = 5 - 3x \quad \text{(3)}
\][/tex]
### Paso 2: Sustituir la expresión para [tex]\( y \)[/tex] en la otra ecuación.
Sustituimos la expresión (3) en la ecuación (1):
[tex]\[
4x - 2(5 - 3x) = 10
\][/tex]
### Paso 3: Resolver la ecuación resultante para [tex]\( x \)[/tex].
Primero, distribuimos el [tex]\(-2\)[/tex]:
[tex]\[
4x - 10 + 6x = 10
\][/tex]
Sumamos los términos semejantes de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
10x - 10 = 10
\][/tex]
Sumamos 10 a ambos lados para simplificar:
[tex]\[
10x = 20
\][/tex]
Dividimos ambos lados entre 10:
[tex]\[
x = 2
\][/tex]
### Paso 4: Sustituir el valor de [tex]\( x \)[/tex] en la expresión despejada para [tex]\( y \)[/tex].
Usamos la expresión (3):
[tex]\[
y = 5 - 3(2) \\
y = 5 - 6 \\
y = -1
\][/tex]
### Paso 5: Escribir el punto de intersección.
El punto de intersección es:
[tex]\[
(x, y) = (2, -1)
\][/tex]
### Verificación
Verifiquemos sustituyendo [tex]\( (2, -1) \)[/tex] en ambas ecuaciones originales:
Para [tex]\( 4x - 2y = 10 \)[/tex]:
[tex]\[
4(2) - 2(-1) = 8 + 2 = 10 \quad \text{(verdadero)}
\][/tex]
Para [tex]\( 3x + y = 5 \)[/tex]:
[tex]\[
3(2) + (-1) = 6 - 1 = 5 \quad \text{(verdadero)}
\][/tex]
Ambas ecuaciones se cumplen, por lo tanto, el punto de intersección es correcto.
El punto de intersección para el sistema es:
[tex]\[
(2, -1)
\][/tex]
