Para resolver este problema, vamos a seguir una serie de pasos lógicos y detallados:
1. Sabemos que se cometió un error en el cálculo de la suma de dos números naturales, que consta de 12 unidades menos de lo que debería ser. Este error nos da como número mayor el 88.
2. Representamos los dos números naturales como [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex], donde [tex]\( x \)[/tex] es el número mayor y [tex]\( y \)[/tex] es el número menor. Por lo tanto, [tex]\( x = 88 \)[/tex].
3. Necesitamos expresar la suma actual equivocada (llamémosla [tex]\( S' \)[/tex]) en términos de la suma real (llamémosla [tex]\( S \)[/tex]). Entonces, tenemos:
[tex]\[
S' = S - 12
\][/tex]
4. También sabemos la diferencia entre los dos números, [tex]\( D \)[/tex], está comprendida entre 70 y 80 (70 ≤ D ≤ 80). La diferencia se define como:
[tex]\[
D = x - y
\][/tex]
5. Dado que conocemos [tex]\( x = 88 \)[/tex], reescribimos la diferencia:
[tex]\[
D = 88 - y
\][/tex]
6. Podemos ahora encontrar la suma real [tex]\( S \)[/tex]. Usamos los valores límites de [tex]\( D \)[/tex] para generar un rango de posibles valores para [tex]\( S \)[/tex]. Reorganizamos la expresión del error en la suma para despejar [tex]\( S \)[/tex]:
[tex]\[
S = S' + 12
\][/tex]
7. Dado que [tex]\( S' \)[/tex] y [tex]\( D \)[/tex] deben respetar la relación de que [tex]\( S' + D = 2x \)[/tex]:
[tex]\[
S - 12 + D = 2 \times 88
\][/tex]
Simplificando, obtenemos:
[tex]\[
S - 12 + D = 176
\][/tex]
Luego:
[tex]\[
S = 176 - D + 12
\][/tex]
[tex]\[
S = 188 - D
\][/tex]
8. Ahora, probamos con los valores de [tex]\( D \)[/tex] desde 70 hasta 80:
[tex]\[
\begin{align*}
\text{Si } D = 70, & \quad S = 188 - 70 = 118 \\
\text{Si } D = 71, & \quad S = 188 - 71 = 117 \\
\text{Si } D = 72, & \quad S = 188 - 72 = 116 \\
\text{Si } D = 73, & \quad S = 188 - 73 = 115 \\
\text{Si } D = 74, & \quad S = 188 - 74 = 114 \\
\text{Si } D = 75, & \quad S = 188 - 75 = 113 \\
\text{Si } D = 76, & \quad S = 188 - 76 = 112 \\
\text{Si } D = 77, & \quad S = 188 - 77 = 111 \\
\text{Si } D = 78, & \quad S = 188 - 78 = 110 \\
\text{Si } D = 79, & \quad S = 188 - 79 = 109 \\
\text{Si } D = 80, & \quad S = 188 - 80 = 108 \\
\end{align*}
\][/tex]
9. Por lo tanto, los valores posibles para la suma real [tex]\( S \)[/tex] son:
[tex]\[
S \in \{118, 117, 116, 115, 114, 113, 112, 111, 110, 109, 108\}
\][/tex]
Este es el conjunto de posibles sumas reales de los números, que cada una cumple con las condiciones dadas en el problema.
