Para hallar el valor de [tex]\( a \)[/tex] que satisface la ecuación [tex]\(\overline{4 a 4 a 4 a}=\stackrel{\circ}{9}\)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
1. Escribir el número en una forma algebraica:
Denotemos el número decimal periódico [tex]\(\overline{4 a 4 a 4 a}\)[/tex] como [tex]\( x \)[/tex].
2. Representación básica del número:
Tenemos que [tex]\( x = 4a4a4a4a\ldots \)[/tex]
3. Multiplicación para eliminar la repetición:
Multiplicamos [tex]\( x \)[/tex] por 1000 (porque el período es de 3 cifras) para obtener un número en el que la parte decimal se repita completamente:
[tex]\[
1000x = 4a4a4a.4a4a4a\ldots
\][/tex]
4. Restar las dos ecuaciones obtenidas:
Restamos [tex]\( x \)[/tex] de [tex]\( 1000x \)[/tex] para eliminar la parte decimal repetitiva:
[tex]\[
1000x - x = 4a4a4a.4a4a4a\ldots - 4a4a4a\ldots
\][/tex]
[tex]\[
999x = 4a4a4a - 4a
\][/tex]
5. Simplificar y resolver la ecuación:
Simplificamos la expresión:
[tex]\[
999x = 4444a - 4a
\][/tex]
Como [tex]\(\overline{4 a 4 a 4 a} = \stackrel{\circ}{9}\)[/tex], el valor numérico de la secuencia [tex]\( 0.999\ldots \)[/tex] es equivalente a 1 entero. Entonces podemos escribir:
[tex]\[
4a4a4a = 4444
\][/tex]
Restando 4a de ambos lados obtenemos:
[tex]\[
999x = 4440a
\][/tex]
Dividiendo ambos lados por 999 obtenemos:
[tex]\[
x = 4.444
\][/tex]
Ahora podemos ver que [tex]\( x \)[/tex], el valor numérico de [tex]\(\overline{4 a 4 a 4 a} \)[/tex] es equivalente a:
[tex]\(
x=4.a4a=1 y \( 4.444
\)[/tex]
Por lo tanto, obtenemos fácilmente a=9 entre el decimal equivalente de 4.444
Resumimos que el valor de [tex]\( a \)[/tex] es [tex]\( \boxed{9} \)[/tex].
