Para determinar [tex]\(\operatorname{Cos}(2x - y)\)[/tex] a partir de las condiciones dadas, sigamos estos pasos:
1. Primeras condiciones:
[tex]\[
0 < x - y < \frac{\pi}{2} \quad \text{y} \quad 0 < x + y < \frac{\pi}{2}
\][/tex]
Estas condiciones nos indican que [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex] son ángulos en los cuadrantes donde sus senos y cosenos son positivos.
2. Segunda condición:
[tex]\[
4 \sin x \cos y = 3
\][/tex]
Podemos despejar un producto común de los senos y cosenos aquí:
[tex]\[
\sin x \cos y = \frac{3}{4}
\][/tex]
3. Tercera condición:
[tex]\[
\frac{1}{\cot x + \tan y} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\][/tex]
Despejamos [tex]\(\cot x + \tan y\)[/tex]:
[tex]\[
\cot x + \tan y = \frac{2}{\sqrt{3}}
\][/tex]
Como sabemos que [tex]\(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)[/tex] y [tex]\(\tan y = \frac{\sin y}{\cos y}\)[/tex], reescribimos la ecuación:
[tex]\[
\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{2}{\sqrt{3}}
\][/tex]
4. Fórmulas de doble ángulo:
Usaremos la identidad de coseno para ángulos dobles:
[tex]\[
\cos(2x - y) = \cos 2x \cos y + \sin 2x \sin y
\][/tex]
Para [tex]\(\cos 2x\)[/tex] y [tex]\(\sin 2x\)[/tex] utilizamos las identidades:
[tex]\[
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1
\][/tex]
[tex]\[
\sin 2x = 2\sin x \cos x
\][/tex]
5. Encontrar [tex]\(\sin y\)[/tex] y [tex]\(\cos y\)[/tex]:
Como sabemos [tex]\(\sin x \cos y = \frac{3}{4}\)[/tex], calculamos:
[tex]\[
\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \quad \text{y} \quad \sin^2 y + \cos^2 y = 1
\][/tex]
Usamos relaciones trigonométricas y factorizamos:
[tex]\(\cos \theta = z\)[/tex]:
[tex]\[
\sin 2x = 2 \cdot \sin x \cos x = 2 \cdot 2z \cdot z = 4z^2
\][/tex]
6. Determinamos [tex]\(\cos(2x - y)\)[/tex]:
Simplificamos con las identidades anteriores:
Con los valores encontrados y aproximados:
[tex]\[
\cos(2x-y)=\cos x+y
\][/tex]
De acuerdo con las fórmulas y valores:
[tex]\[
\operatorname{Cos}(2 x-y)=\cos x + y
\][/tex]
