Para simplificar la expresión racional [tex]\( \frac{x^2 - 25}{x^2 + 9x + 20} \)[/tex], sigamos estos pasos:
1. Factorizar el numerador y el denominador:
- Numerador: [tex]\( x^2 - 25 \)[/tex] es una diferencia de cuadrados, y se factoriza como:
[tex]\[
x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)
\][/tex]
- Denominador: [tex]\( x^2 + 9x + 20 \)[/tex] es un trinomio cuadrado que puede factorizarse. Buscamos dos números que al multiplicarse den 20 y al sumarse den 9. Esos números son 4 y 5:
[tex]\[
x^2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)
\][/tex]
2. Sustituir las factorizaciones en la expresión original:
La expresión [tex]\( \frac{x^2 - 25}{x^2 + 9x + 20} \)[/tex] se convierte en:
[tex]\[
\frac{(x - 5)(x + 5)}{(x + 4)(x + 5)}
\][/tex]
3. Simplificar la fracción:
Podemos cancelar el factor común [tex]\((x + 5)\)[/tex] del numerador y el denominador:
[tex]\[
\frac{(x - 5)\cancel{(x + 5)}}{(x + 4)\cancel{(x + 5)}} = \frac{x - 5}{x + 4}
\][/tex]
Por lo tanto, una expresión equivalente en su mínima expresión de [tex]\( \frac{x^2 - 25}{x^2 + 9x + 20} \)[/tex] es:
[tex]\[
\boxed{\frac{x - 5}{x + 4}}
\][/tex]
2. Identificar los valores de [tex]\(x\)[/tex] excluidos:
La expresión simplificada [tex]\(\frac{x - 5}{x + 4}\)[/tex] tiene restricciones provenientes del denominador original [tex]\(x^2 + 9x + 20\)[/tex]. Debemos determinar los valores de [tex]\(x\)[/tex] que hacen que el denominador original sea cero.
- Resolver la ecuación [tex]\(x^2 + 9x + 20 = 0\)[/tex]:
[tex]\[
(x + 4)(x + 5) = 0
\][/tex]
- Las soluciones de esta ecuación son [tex]\(x = -4\)[/tex] y [tex]\(x = -5\)[/tex].
Por lo tanto, los valores excluidos de [tex]\(x\)[/tex] son:
[tex]\[
\boxed{x = -4 \text{ y } x = -5}
\][/tex]
