Para resolver este problema, primero vamos a utilizar la información dada [tex]\( MCD(15A; 20B) = 30 \)[/tex] y luego calcular [tex]\( MCD(12A; 16B) \)[/tex]. Finalmente, encontraremos el producto de las cifras del resultado.
1. Determine los valores de A y B:
Dado que [tex]\( MCD(15A; 20B) = 30 \)[/tex], podemos descomponer [tex]\( 15 \)[/tex] y [tex]\( 20 \)[/tex] en sus factores primos:
- [tex]\( 15 = 3 \times 5 \)[/tex]
- [tex]\( 20 = 2^2 \times 5 \)[/tex]
Dado que 30 es el máximo común divisor de [tex]\( 15A \)[/tex] y [tex]\( 20B \)[/tex], esto sugiere que [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex] deben compartir un factor común K que permita que el MCD sea 30 cuando se multiplica por 15 y 20. Por lo tanto, [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex] se pueden expresar como:
- [tex]\( A = K \times \text{factor}\_1 \)[/tex]
- [tex]\( B = K \times \text{factor}\_2 \)[/tex]
A este factor común K, lo llamaremos, simplemente [tex]\( K \)[/tex].
2. Calcular el MCD de [tex]\( 12A \)[/tex] y [tex]\( 16B \)[/tex]:
- [tex]\( 12 = 2^2 \times 3 \)[/tex]
- [tex]\( 16 = 2^4 \)[/tex]
Ahora, expresamos [tex]\( 12A \)[/tex] y [tex]\( 16B \)[/tex] en términos de [tex]\( K \)[/tex]:
- [tex]\( 12A = 12 \times K \)[/tex]
- [tex]\( 16B = 16 \times K \)[/tex]
3. Calcular el MCD de [tex]\( 12K \)[/tex] y [tex]\( 16K \)[/tex]:
- [tex]\( 12K = 12K \)[/tex]
- [tex]\( 16K = 16K \)[/tex]
El MCD de [tex]\( 12K \)[/tex] y [tex]\( 16K \)[/tex] será [tex]\( K \times \text{MCD}(12, 16) \)[/tex]:
- La descomposición en factores primos de 12 y 16:
- [tex]\( 12 = 2^2 \times 3 \)[/tex]
- [tex]\( 16 = 2^4 \)[/tex]
El MCD de 12 y 16 es [tex]\( 2^2 = 4 \)[/tex].
Por lo tanto, el MCD de [tex]\( 12A \)[/tex] y [tex]\( 16B \)[/tex] es [tex]\( 4K \)[/tex].
4. Determinar el valor de K:
Del paso inicial y dado [tex]\( MCD(15A; 20B) = 30 \)[/tex]:
- [tex]\( K \)[/tex] se puede determinar dividiendo 30 por el MCD de 15 y 20:
- El MCD de 15 y 20 es 5.
- [tex]\( K = \frac{30}{5} = 6 \)[/tex].
5. Calcular el MCD final de [tex]\( 12A \)[/tex] y [tex]\( 16B \)[/tex]:
- Sustituyendo [tex]\( K = 6 \)[/tex] en nuestra expresión:
- [tex]\( MCD(12A; 16B) = 4K = 4 \times 6 = 24 \)[/tex].
6. Calcular el producto de las cifras del resultado que es 24:
- Las cifras de 24 son 2 y 4.
- El producto de 2 y 4 es [tex]\( 2 \times 4 = 8 \)[/tex].
Por lo tanto, la respuesta correcta es [tex]\( \boxed{8} \)[/tex].
