Para resolver la ecuación cuadrática [tex]\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)[/tex] mediante el método de completar cuadrados, sigue los pasos detallados a continuación:
1. Primero, empieza con la ecuación original:
[tex]\[
x^2 - 5x + 6 = 0
\][/tex]
2. Mueve el término constante al otro lado de la ecuación:
[tex]\[
x^2 - 5x = -6
\][/tex]
3. Encuentra el término que completa el cuadrado. Para eso, toma el coeficiente del término lineal (en este caso, -5), divídelo entre 2 y luego elévalo al cuadrado:
[tex]\[
\left( \frac{-5}{2} \right)^2 = \left( \frac{-5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4}
\][/tex]
4. Añade y sustrae este término dentro de la ecuación para completar el cuadrado perfecto:
[tex]\[
x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} = -6
\][/tex]
5. Reescribe la ecuación agrupando los primeros tres términos como un cuadrado perfecto:
[tex]\[
\left( x - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} = -6
\][/tex]
6. Simplifica a una forma que permita resolver la ecuación cuadrática completando cuadrados:
[tex]\[
\left( x - \frac{5}{2} \right)^2 = -6 + \frac{25}{4} = \frac{25}{4} - \frac{24}{4} = \frac{1}{4}
\][/tex]
7. Aplica la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
x - \frac{5}{2} = \pm \frac{1}{2}
\][/tex]
8. Resuelve para [tex]\( x \)[/tex] considerando los dos posibles valores:
[tex]\[
\begin{cases}
x - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \\
x - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}
\end{cases}
\][/tex]
Para el primer caso:
[tex]\[
x = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3
\][/tex]
Para el segundo caso:
[tex]\[
x = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2
\][/tex]
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática son:
[tex]\[
x = 2 \quad \text{y} \quad x = 3
\][/tex]
