Para resolver el problema, primero debemos encontrar la suma de las dos secuencias aritméticas dadas, [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex], y luego calcular la diferencia entre ellas, [tex]\( A - B \)[/tex].
### Paso 1: Suma de la secuencia [tex]\( A \)[/tex]
La secuencia [tex]\( A \)[/tex]:
[tex]\[ A = 2 + 4 + 6 + \ldots + 500 \][/tex]
Esta es una secuencia aritmética donde:
- El primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]) es 2.
- La diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) es 2.
- El último término ([tex]\(l\)[/tex]) es 500.
La fórmula para el número de términos ([tex]\(n\)[/tex]) en una secuencia aritmética es:
[tex]\[ n = \frac{l - a_1}{d} + 1 \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ n_1 = \frac{500 - 2}{2} + 1 = 250.0 \][/tex]
La fórmula para la suma ([tex]\(S_n\)[/tex]) de los primeros [tex]\(n\)[/tex] términos de una secuencia aritmética es:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a + l) \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ \text{sum\_A} = \frac{250.0}{2} \times (2 + 500) = 62500.0 \][/tex]
### Paso 2: Suma de la secuencia [tex]\( B \)[/tex]
La secuencia [tex]\( B \)[/tex]:
[tex]\[ B = 1 + 3 + 5 + \ldots + 499 \][/tex]
Esta es una secuencia aritmética donde:
- El primer término ([tex]\(b_1\)[/tex]) es 1.
- La diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) es 2.
- El último término ([tex]\(l\)[/tex]) es 499.
La fórmula para el número de términos ([tex]\(n\)[/tex]) en una secuencia aritmética es:
[tex]\[ n = \frac{l - b_1}{d} + 1 \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ n_2 = \frac{499 - 1}{2} + 1 = 250.0 \][/tex]
La fórmula para la suma ([tex]\(S_n\)[/tex]) de los primeros [tex]\(n\)[/tex] términos de una secuencia aritmética es:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a + l) \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ \text{sum\_B} = \frac{250.0}{2} \times (1 + 499) = 62500.0 \][/tex]
### Paso 3: Calcular [tex]\( A - B \)[/tex]
Finalmente, la diferencia entre las sumas de las dos secuencias es:
[tex]\[ A - B = \text{sum\_A} - \text{sum\_B} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ A - B = 62500.0 - 62500.0 = 250.0 \][/tex]
Por lo tanto, el resultado de [tex]\( A - B \)[/tex] es:
[tex]\[
\boxed{250.0}
\][/tex]
