Vamos analisar os conjuntos [tex]\(A\)[/tex], [tex]\(B\)[/tex] e [tex]\(C\)[/tex] separadamente para determinar se [tex]\(A \supset C\)[/tex].
Conjunto [tex]\(A\)[/tex]:
[tex]\(A\)[/tex] é definido como o conjunto de todos os números inteiros ([tex]\(Z\)[/tex]) menores que 4.
[tex]\[
A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x < 4 \}
\][/tex]
Portanto, [tex]\(A\)[/tex] contém os números inteiros [tex]\( ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \)[/tex].
Conjunto [tex]\(B\)[/tex]:
[tex]\(B\)[/tex] é definido pela inequação:
[tex]\[
-2x + 3 < -3x + 5
\][/tex]
Vamos resolver a inequação:
1. Adicionar [tex]\(3x\)[/tex] a ambos os lados:
[tex]\[
-2x + 3 + 3x < -3x + 5 + 3x
\][/tex]
[tex]\[
x + 3 < 5
\][/tex]
2. Subtrair 3 de ambos os lados:
[tex]\[
x + 3 - 3 < 5 - 3
\][/tex]
[tex]\[
x < 2
\][/tex]
Portanto, [tex]\(B\)[/tex] é o conjunto de números inteiros menores que 2:
[tex]\[
B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x < 2 \}
\][/tex]
Conjunto [tex]\(C\)[/tex]:
[tex]\(C\)[/tex] é definido como o conjunto de números naturais ([tex]\(N\)[/tex]) tal que [tex]\(-2 \leq x < 3\)[/tex]. No entanto, como estamos lidando com números naturais, o intervalo que importa é:
[tex]\[
C = \{ x \in \mathbb{N} \mid 0 \leq x < 3 \}
\][/tex]
Portanto, [tex]\(C\)[/tex] contém os números naturais [tex]\(0, 1, 2\)[/tex].
Verificação se [tex]\(A \supset C\)[/tex]:
Para que [tex]\(A \supset C\)[/tex] (ou seja, [tex]\(A\)[/tex] é um superconjunto de [tex]\(C\)[/tex]), todos os elementos de [tex]\(C\)[/tex] devem estar contidos em [tex]\(A\)[/tex].
Os elementos de [tex]\(C\)[/tex] são [tex]\( \{0, 1, 2\} \)[/tex].
Verificando se todos esses elementos estão em [tex]\(A\)[/tex],:
- 0 está em [tex]\(A\)[/tex] porque 0 < 4,
- 1 está em [tex]\(A\)[/tex] porque 1 < 4,
- 2 está em [tex]\(A\)[/tex] porque 2 < 4.
Portanto, todos os elementos de [tex]\(C\)[/tex] estão contidos em [tex]\(A\)[/tex].
Assim, podemos concluir que:
[tex]\[
A \supset C
\][/tex]
Então a afirmação [tex]\(A \supset C\)[/tex] é verdadeira.
