Vamos analisar as afirmações uma a uma para a função [tex]\( f(x) = \sin(x) \)[/tex].
1. Afirmação: A função [tex]\( f(x) \)[/tex] é uma função par, isto é, [tex]\( f(x) = f(-x) \)[/tex] para todo [tex]\( x \)[/tex] real.
- Uma função é par se [tex]\( f(x) = f(-x) \)[/tex] para todos os valores de [tex]\( x \)[/tex]. Para a função [tex]\( \sin(x) \)[/tex], sabemos que:
[tex]\[
\sin(-x) = -\sin(x)
\][/tex]
Isso mostra que [tex]\( \sin(x) \)[/tex] não é igual a [tex]\( \sin(-x) \)[/tex]; ao contrário, [tex]\( \sin(x) \)[/tex] é uma função ímpar. Portanto, a afirmação é falsa.
2. Afirmação: A função [tex]\( f(x) \)[/tex] é periódica de período [tex]\( 2\pi \)[/tex].
- Uma função [tex]\( f(x) \)[/tex] é periódica com período [tex]\( T \)[/tex] se para todo [tex]\( x \)[/tex] em seu domínio, [tex]\( f(x + T) = f(x) \)[/tex]. É bem conhecido que:
[tex]\[
\sin(x + 2\pi) = \sin(x)
\][/tex]
Portanto, a função [tex]\( \sin(x) \)[/tex] é periódica com período [tex]\( 2\pi \)[/tex]. Então, essa afirmação é verdadeira.
3. Afirmação: A função [tex]\( f(x) \)[/tex] é sobrejetora.
- Uma função é sobrejetora se para todo [tex]\( y \)[/tex] no contradomínio existem valores de [tex]\( x \)[/tex] no domínio tal que [tex]\( f(x) = y \)[/tex]. No caso da função seno, para [tex]\( y \)[/tex] no intervalo [tex]\([-1, 1]\)[/tex], sempre podemos encontrar um [tex]\( x \)[/tex] tal que [tex]\( \sin(x) = y \)[/tex]. Portanto, a função [tex]\( \sin(x) \)[/tex] é sobrejetora de [tex]\(\mathbb{R}\)[/tex] em [tex]\([-1, 1]\)[/tex]. Desta forma, a afirmação é verdadeira.
4. Afirmação: [tex]\( f(0) = 0 \)[/tex], [tex]\( f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)[/tex] e [tex]\( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)[/tex].
- Vamos verificar esses valores um por um:
[tex]\[
f(0) = \sin(0) = 0
\][/tex]
[tex]\[
f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\][/tex]
[tex]\[
f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1
\][/tex]
Todos esses valores estão corretos. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Baseando-se nas observações anteriores, podemos concluir que são verdadeiras as afirmativas:
- A função [tex]\( f(x) = \sin(x) \)[/tex] é periódica de período [tex]\( 2\pi \)[/tex].
- A função [tex]\( f(x) \)[/tex] é sobrejetora.
- [tex]\( f(0) = 0 \)[/tex], [tex]\( f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)[/tex] e [tex]\( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)[/tex].
Portanto, a resposta correta é que as afirmações (ii), (iii) e (iv) são verdadeiras.
